Seja
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual à
. Mostre que as aplicações abaixo são lineares:
dada por
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
dos polinômios de grau
sobre
e a aplicação
O conteúdo é mostrar que
é uma transformação linear, isto é, que
preserva soma de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos a aditividade: sejam
. Então, pela propriedade da integral,
Passo 3
Verificamos a homogeneidade: seja
e
. Então
Passo 4
Como
satisfaz
e
para todo
e todo
, concluímos que
é linear.
Resposta
A aplicação
é linear.