Seja Pn o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual à n. Mostre que as aplicações abaixo são lineares:
T: Pn R dada por T(f(x))=integrala^b f(x) d x.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial Pn dos polinômios de grau <= n sobre R e a aplicação
Tcolon PntoR, Tl(f(x)r)=integrala^bf(x),dx
O conteúdo é mostrar que T é uma transformação linear, isto é, que T preserva soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a aditividade: sejam f,gin Pn. Então, pela propriedade da integral,
Tl(f+gr) =integrala^bl(f(x)+g(x)r),dx =integrala^bf(x),dx+integrala^bg(x),dx =Tl(f(x)r)+Tl(g(x)r)

Passo 3

Verificamos a homogeneidade: seja cinR e fin Pn. Então
Tl(c,fr) =integrala^bc,f(x),dx =cintegrala^bf(x),dx =c,Tl(f(x)r)

Passo 4

Como T satisfaz T(f+g)=T(f)+T(g) e T(c,f)=c,T(f) para todo f,gin Pn e todo cinR, concluímos que T é linear.

Resposta

A aplicação T é linear.

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