a das seguintes aplicaçoes e linear. Justifique em cada caso.
(b)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente verificar se a aplicação
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (0,;y+x)
é linear. A matéria aqui é Transformações Lineares e, pra provar que uma aplicação é linear, a gente precisa mostrar duas coisas:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade: T(c,u)=c,T(u).

Passo 2

Vamos checar a aditividade.
  • Seja u=(x1,y1) e v=(x2,y2).
  • Então u+v=(x1+x2,;y1+y2).
  • Aplicando T em u+v:
T(u+v) = T(x1+x2,;y1+y2) = l(0,;(y1+y2)+(x1+x2)r) = l(0,;y1+x1+y2+x2r)
  • Agora T(u)+T(v):
T(u) + T(v) = (0,;y1+x1);+;(0,;y2+x2) = l(0,;y1+x1+y2+x2r)
Como os dois resultados são iguais, a aditividade vale.

Passo 3

Agora a homogeneidade.
  • Seja um escalar cinR e u=(x,y).
  • Então c,u = (c,x,;c,y).
  • Aplicando T em c,u:
T(cu) = T(c,x,;c,y) = l(0,;c,y + c,xr) = l(0,;c,(y + x)r) = c,(0,;y+x) = c,T(u)
Isso mostra que a homogeneidade também vale.

Resposta

Sim, a aplicação T(x,y)=(0,y+x) é linear, porque satisfaz tanto
;T(u+v)=T(u)+T(v); quanto ;T(c,u)=c,T(u).).

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