4- (2 pontos) Seja f(x, y)=x e^{3 y}, determine a maior taxa de variação de f no ponto P=(2.0) e apresente em qual direção ela ocorre.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=x e^{3y}
e pede a maior taxa de variação de f no ponto P=(2,0) e a direção em que ela ocorre.
O conteúdo aqui é o gradiente e a derivada direcional: a maior taxa de variação de f num ponto é o comprimento do gradiente ali, e ocorre na direção do próprio gradiente.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f, isto é, o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\bigl(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\bigr).
Derivando em relação a x e y:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{3y}\bigr)=e^{3y},
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x e^{3y}\bigr)=x\cdot3e^{3y}=3x e^{3y}.

Passo 3

Avaliamo-os o gradiente em P=(2,0):
\nabla f(2,0)=\bigl(e^{3\cdot0},\,3\cdot2\,e^{3\cdot0}\bigr)=(1,6).

Passo 4

A maior taxa de variação de f em P é o comprimento de \nabla f(2,0):
\|\nabla f(2,0)\|=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37}.
E a direção em que ela ocorre é o vetor unitário na direção de \nabla f(2,0):
\mathbf{u}=\frac{\nabla f(2,0)}{\|\nabla f(2,0)\|}=\frac{(1,6)}{\sqrt{37}}.

Resposta

A maior taxa de variação é \sqrt{37}, ocorrendo na direção do vetor \bigl(1,6\bigr)/\sqrt{37}.

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