Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Exiba exemplos quando forem falsas.
Se a_{n} \rightarrow 0 então \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge.

Passo 1

O enunciado afirma que, se \lim_{n\to\infty}a_{n}=0, então a série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} converge. O conteúdo envolvido é séries numéricas e a condição necessária (mas não suficiente) de convergência: para \sum a_{n} convergir é preciso ter \lim a_{n}=0, mas o inverso não vale em geral.

Passo 2

Lembramos que uma série convergente satisfaz necessariamente
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0,
porém essa condição não garante convergência da soma. Precisamos de testes adicionais (comparação, integral, razão etc.) para concluir convergência.

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa, basta um contraexemplo. Tome
a_{n}=\frac1n.
Então
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac1n =0,
mas a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n
é conhecida por divergir. Por exemplo, pelo teste da integral:
\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x} =\infty
implica \sum_{n=1}^{\infty}1/n=\infty.

Passo 4

Logo, há termos que tendem a zero mas cuja série diverge, o que contradiz a afirmação original.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo clássico é a_{n}=1/n, pois \lim_{n\to\infty}1/n=0 mas
\sum_{n=1}^{\infty}1/n diverge.

Exercícios relacionados