Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Exiba exemplos quando forem falsas.
Se
então
converge.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, se
, então a série
converge. O conteúdo envolvido é séries numéricas e a condição necessária (mas não suficiente) de convergência: para
convergir é preciso ter
, mas o inverso não vale em geral.
Passo 2
Lembramos que uma série convergente satisfaz necessariamente
porém essa condição não garante convergência da soma. Precisamos de testes adicionais (comparação, integral, razão etc.) para concluir convergência.
Passo 3
Para mostrar que a afirmação é falsa, basta um contraexemplo. Tome
Então
mas a série harmônica
é conhecida por divergir. Por exemplo, pelo teste da integral:
implica
.
Passo 4
Logo, há termos que tendem a zero mas cuja série diverge, o que contradiz a afirmação original.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo clássico é
, pois
mas
diverge.