(Questão 01) [2,0 pontos] Obtenha uma equação vetorial da reta contida em \pi: x-y+z=0 que é concorrente com as retas
r:\left\{\begin{array}{l} x+y+2 z=2 \\ x+z=1 \end{array} \quad s:\left\{\begin{array}{l} x+2=z \\ y=0 \end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial de uma reta L\) que (i) está contida no plano \[\pi: x - y + z = 0,
e (ii) intercepta as retas
r:\begin{cases} x+y+2z=2,\\\ x+z=1, \end{cases} \quad s:\begin{cases} z = x + 2,\\\ y=0. \end{cases}
Para resolver, vamos parametrizar r\] e \(s, achar os pontos de interseção de cada uma com \pi, e definir L por esses dois pontos.

Passo 2

Parametrizando r: da segunda equação de r temos z=1-x. Substituindo em x+y+2z=2
x+y+2(1-x)=2\;\Longrightarrow\;-x+y+2=2\;\Longrightarrow\;y=x.
Logo r pode ser escrita como
r:\;(x,y,z)=(t,\;t,\;1-t),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

O ponto de r que está em \pi satisfaz
x-y+z=0 \;\Longrightarrow\; t - t + (1-t)=0 \;\Longrightarrow\; 1-t=0 \;\Longrightarrow\; t=1.
Assim o ponto de interseção A é
A=(1,\,1,\,0).

Passo 4

Parametrizando s: temos
s:\;(x,y,z)=(u,\;0,\;u+2),\quad u\in\mathbb{R}.
Para s\cap\pi impomos
x-y+z=0 \;\Longrightarrow\; u - 0 + (u+2)=0 \;\Longrightarrow\; 2u+2=0 \;\Longrightarrow\; u=-1.
O ponto de interseção B é
B=(-1,\,0,\,1).

Passo 5

A reta L que passa por A e B tem direção \overrightarrow{AB}=B-A=(-2,-1,1). Logo uma equação vetorial é
L:\;(x,y,z) = (1,\,1,\,0)+t\,(-2,\,-1,\,1),\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\boxed{(x,y,z) = (1,\,1,\,0)+t\,(-2,\,-1,\,1),\\ t\in\mathbb{R}.}

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