Questão 1 Verifique se as transformações T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) são diagonalizáveis. Caso afirmativo, determine uma base para \mathbb{R}^{2} composta por autovetores.
T(x, y)=(y, x);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (y,x)
é diagonalizável e, em caso positivo, encontrar uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores. O conteúdo aqui é diagonalização de operadores em espaços de dimensão finita, para o qual precisamos calcular polinômio característico, autovalores e autovetores.

Passo 2

Em relação à base canônica \{e_1,e_2\}, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
Para ver se T é diagonalizável, primeiro calculamos o polinômio característico \det(A - \lambda I).

Passo 3

O polinômio característico é
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix} -\lambda & 1\\\\ 1 & -\lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 - 1.
As raízes são \lambda_1 = 1 e \lambda_2 = -1.

Passo 4

Agora achamos os autovetores. Para \lambda_1 = 1 resolvemos
(A - I)(x,y) = (y - x,\,x - y) = (0,0) \quad\Longrightarrow\quad y = x.
Logo o espaço próprio de \lambda=1 é \{(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\} = \Span\{(1,1)\}.

Passo 5

Para \lambda_2 = -1 resolvemos
(A + I)(x,y) = (y + x,\;x + y) = (0,0) \quad\Longrightarrow\quad y = -x.
Logo o espaço próprio de \lambda=-1 é \{(x,-x)\mid x\in\mathbb{R}\} = \Span\{(1,-1)\}.

Passo 6

Como os autovalores são distintos, cada um gera um espaço próprio unidimensional e a soma das dimensões dos espaços próprios é 1 + 1 = 2, igual à dimensão de \mathbb{R}^2. Portanto, T é diagonalizável.

Resposta

Uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores de T é
\{(1,1),\,(1,-1)\}.

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