Seja
um oeprador linear tal que, em uma base
, a matriz de
é dada por
onde
.
a) Determine o polinômio característico
.
b) Prove que:
se, e somente se,
adimite um único autovalor real.
a) Determine o polinômio característico
b) Prove que:
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear
em
cuja matriz em certa base
é
com
.
Precisamos (a) encontrar o polinômio característico e (b) mostrar que
Precisamos (a) encontrar o polinômio característico
Passo 2
Definimos o polinômio característico pela fórmula monica
Escrevendo
temos
Para calcular a determinante, expandimos pela primeira coluna:
Passo 3
Continuando a conta,
Portanto o polinômio característico monico é
Passo 4
As raízes de
são
e as raízes da quadrática
Para essa segunda equação, o discriminante é
Sabemos que uma quadrática real tem raízes reais distintas se
, uma raiz dupla real se
e não tem raízes reais se
.
Passo 5
Tendo já
como um autovalor, para que seja o único autovalor real é preciso que a quadrática não dê raízes reais, ou seja
Isso prova a equivalência pedida.
Resposta
(a)
(b) admite exatamente um autovalor real se, e somente se
.
(b)