Seja T um oeprador linear tal que, em uma base \mathcal{B}, a matriz de T é dada por
[T]_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & -b & -c \end{array}\right)
onde b, c \in \mathbb{R}^{+}.
a) Determine o polinômio característico p_{T}(x).
b) Prove que: \frac{c}{2}<\sqrt{b} se, e somente se, T adimite um único autovalor real.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear T em \mathbb{R}^3 cuja matriz em certa base \mathcal{B} é
[T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & -b & -c \end{pmatrix},
com b,c>0.
Precisamos (a) encontrar o polinômio característico p_T(x) e (b) mostrar que
\frac{c}{2}<\sqrt{b} \quad\Longleftrightarrow\quad T\text{ admite um único autovalor real.}ú

Passo 2

Definimos o polinômio característico pela fórmula monica
p_T(x)=\det\bigl(xI - [T]_{\mathcal{B}}\bigr).
Escrevendo xI - [T]_{\mathcal{B}} temos
xI - [T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} x & -1 & 0\\\\ 0 & x & -1\\\\ 0 & b & x+c \end{pmatrix}.
Para calcular a determinante, expandimos pela primeira coluna:
\det(xI - [T]) = x\cdot\det\begin{pmatrix}x & -1\\\ b & x+c\end{pmatrix} -0 +0 = x\bigl(x(x+c)-(-1)\,b\bigr).

Passo 3

Continuando a conta,
x\bigl(x(x+c)+b\bigr) = x\bigl(x^2 + c\,x + b\bigr).
Portanto o polinômio característico monico é
p_T(x)=x\,(x^2 + c\,x + b).

Passo 4

As raízes de p_T são x=0 e as raízes da quadrática
x^2 + c\,x + b = 0.
Para essa segunda equação, o discriminante é
\Delta = c^2 - 4\,b.
Sabemos que uma quadrática real tem raízes reais distintas se \Delta>0, uma raiz dupla real se \Delta=0 e não tem raízes reais se \Delta<0.

Passo 5

Tendo já x=0 como um autovalor, para que seja o único autovalor real é preciso que a quadrática não dê raízes reais, ou seja
\Delta < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad c^2 - 4\,b < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad c^2 < 4b \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{c}{2} < \sqrt{b}.
Isso prova a equivalência pedida.

Resposta

(a) p_T(x)=x\,(x^2 + c\,x + b).
(b) T admite exatamente um autovalor real se, e somente se \tfrac{c}{2}<\sqrt{b}.

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