(2,0 pontos) Seja A uma matriz de tamanho n \times n. Suponha que a soma dos elementos de cada linha seja igual a 1\left(\sum_{j=1}^{n} a_{i j}=1\right., para todo \left.i=1, \ldots, n\right). Qual é \operatorname{det}(A-I) ? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{n\times n} cujas linhas somam 1, isto é, para todo i=1,\dots,n
\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=1.
O conteúdo é “autovalores e determinante”: mostraremos que 1 é autovalor de A, logo A-I é singular e seu determinante vale zero.
Passo 2
Defina o vetor coluna
v = \begin{pmatrix}1 \\\ \vdots \\\\ 1\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^n.