(2,0 pontos) Seja A uma matriz de tamanho n \times n. Suponha que a soma dos elementos de cada linha seja igual a 1\left(\sum_{j=1}^{n} a_{i j}=1\right., para todo \left.i=1, \ldots, n\right). Qual é \operatorname{det}(A-I) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{n\times n} cujas linhas somam 1, isto é, para todo i=1,\dots,n
\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=1.
O conteúdo é “autovalores e determinante”: mostraremos que 1 é autovalor de A, logo A-I é singular e seu determinante vale zero.

Passo 2

Defina o vetor coluna
v = \begin{pmatrix}1 \\\ \vdots \\\\ 1\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^n.
O produto A\,v tem como componente i
(A\,v)_i = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}\,1 = \sum_{j=1}^{n}a_{ij} = 1,
pelo que A\,v=v. Assim, v\neq 0 é vetor próprio de A associado ao autovalor \lambda=1, isto é,
A\,v = 1\cdot v \quad\Longrightarrow\quad (A-I)\,v = 0.

Passo 3

Como existe v\neq0 tal que (A-I)\,v=0, a matriz A-I é singular. Logo,
\det(A-I)=0.

Resposta

0.

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