Sejam A e B matrizes de tamanho n \times n. Prove o seguinte:
(d) A+A^{T} é simétrica.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz quadrada A de ordem n, a matriz
A + A^{T}
é simétrica. Lembrando que uma matriz M é simétrica se
M = M^{T}.
Para provar isso, vamos usar duas propriedades básicas da transposição:
  1. \,(X + Y)^{T} = X^{T} + Y^{T}.
  2. \,(X^{T})^{T} = X.

Passo 2

Calculemos a transposta de A + A^{T} usando a propriedade distributiva da transposição:
\bigl(A + A^{T}\bigr)^{T} = A^{T} + \bigl(A^{T}\bigr)^{T} = A^{T} + A.

Passo 3

Observando que a soma de matrizes é comutativa, temos
A^{T} + A = A + A^{T}.
Logo
\bigl(A + A^{T}\bigr)^{T} = A + A^{T},
o que, pela definição, mostra que A + A^{T} é simétrica.

Resposta

Como \bigl(A + A^{T}\bigr)^{T} = A + A^{T}, concluímos que A + A^{T} é simétrica.

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