Sejam
e
matrizes de tamanho
. Prove o seguinte:
(d)
é simétrica.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz quadrada
de ordem
, a matriz
é simétrica. Lembrando que uma matriz
é simétrica se
Para provar isso, vamos usar duas propriedades básicas da transposição:
-
. -
.
Passo 2
Calculemos a transposta de
usando a propriedade distributiva da transposição:
Passo 3
Observando que a soma de matrizes é comutativa, temos
Logo
o que, pela definição, mostra que
é simétrica.
Resposta
Como
, concluímos que
é simétrica.