Nos problemas abaixo, encontre F(s) ou f(t), como indicado.
\mathcal{L}\left\{\frac{1}{(s+2)^{3}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\frac{1}{(s+2)^{3}},
ou seja, encontrar f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{(s+2)^{3}}.
O conteúdo usado será a fórmula geral da transformada de Laplace de potências de t multiplicadas por um decaimento exponencial.

Passo 2

Lembramos que, para n inteiro não negativo e a real, vale
\mathcal{L}\{t^n e^{-a t}\} = \frac{n!}{(s + a)^{n+1}}.
No nosso caso, queremos um denominador de grau 3 em (s+2), ou seja, escolhemos n+1=3, de forma que n=2 e a=2.

Passo 3

Aplicando a fórmula com n=2 e a=2, obtemos
\mathcal{L}\{t^2 e^{-2t}\} = \frac{2!}{(s+2)^{3}} = \frac{2}{(s+2)^{3}}.
Para ajustar o numerador de 2 para 1, basta dividir por 2 dentro da transformada:
\frac{1}{(s+2)^{3}} = \mathcal{L}\Bigl\{\tfrac{1}{2}\,t^2 e^{-2t}\Bigr\}.

Resposta

f(t) = \frac{t^2 e^{-2t}}{2}.

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