(1,0 pt) Seja uma função g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que
5 x-1 \leq g(x) \leq 2 x^{2}+x+1,
para valores próximo de x=1. Usando o Teorema do Confronto, calcule \lim _{x \rightarrow 1} g(x).

Passo 1

O enunciado dá uma função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que, para x próximo de 1,
5x - 1 \le g(x) \le 2x^2 + x + 1,
e pede \lim_{x\to1}g(x). O conteúdo é limite de função e vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), que afirma que se duas funções limitantes têm o mesmo limite num ponto, então a função intermediária também tem esse limite.

Passo 2

Calculamos o limite da função inferior f_1(x)=5x-1 quando x\to1:
\lim_{x\to1}(5x-1)=5\cdot1-1=4.

Passo 3

Calculamos o limite da função superior f_2(x)=2x^2+x+1 quando x\to1:
\lim_{x\to1}(2x^2+x+1)=2\cdot1^2+1+1=4.

Passo 4

Como para x próximo de 1 temos
5x-1 \le g(x) \le 2x^2+x+1
e ambos os limites das funções 5x-1 e 2x^2+x+1 em x\to1 são iguais a 4, o Teorema do Confronto garante que
\lim_{x\to1}g(x)=4.

Resposta

4

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