usando a condição de normalização da função de onda no instante inicial, isto é \Psi(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\psi'_n(x). As informações relevantes que temos são:
A base de funções estacionárias \psi'_n(x) é \psi'_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right).
A função de onda deve ser normalizada em x\in[0,a], isto é \int_{0}^{a}|\Psi(x,0)|^{2}\,dx=1.
Não vou resolver nada ainda neste passo; apenas listei o que o enunciado dá e o que é pedido.
Passo 2
Explicação e prova da ortonormalidade das funções \psi'_n(x)\). Isto é crucial: precisamos que
\[\int_{0}^{a}\psi'_n(x)^{*}\psi'_m(x)\,dx=\delta_{nm},
onde \delta_{nm} é o delta de Kronecker (\delta_{nm}=1 se n=m e 0 se n\ne m). Vamos calcular a integral básica entre as funções seno (a conjugação não altera porque são reais):
Cada integral de cosseno é do tipo \int_{0}^{a}\cos(k\pi x/a)\,dx. Se k é inteiro não-nulo, essa integral vale zero porque \cos completa um número inteiro de meias-períodos sobre o intervalo [0,a]. Logo, se n\ne m temos n-m inteiro não-nulo e ambos os termos se anulam, dando I_{nm}=0. Se n=m então o primeiro termo é \int_{0}^{a}1\,dx=a e o segundo é \int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{2n\pi}{a}x\right)\,dx=0, dando I_{nn}=a/2.
Portanto
Multiplicando pelos fatores normalizadores \sqrt{\frac{2}{a}}\] temos
\[\int_{0}^{a}\psi'_n(x)\psi'_m(x)\,dx=\delta_{nm},\]
ou seja, as \(\psi'_n formam uma base ortonormal em L^{2}(0,a). (Esse é um ponto-chave: ortonormalidade permite decompor funções e reduzir integrais duplas a somas simples.)]
Passo 3
Relembrando a condição de normalização e escrevendo \Psi(x,0) pela expansão:
\Psi(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\psi'_n(x).
A normalização exige
\int_{0}^{a}|\Psi(x,0)|^{2}\,dx=1.
Vamos calcular o integrando usando Produto Interno. Primeiro escrevemos o módulo ao quadrado como \Psi^{*}(x,0)\Psi(x,0). Substituindo a série:
Aqui usei índices diferentes m e n para deixar claro que haverá soma dupla.
Passo 4
Troque a ordem de soma e integral (justificação intuitiva: a série corresponde a uma função quadrado-integrável e a troca é permitida neste contexto padrão; em provas formais usa-se teoremas de convergência dominada ou completude de L^{2}). Assim
Como a condição de normalização impõe \int_{0}^{a}|\Psi(x,0)|^{2}\,dx=1, juntando com o resultado do Passo 4 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}|c_{n}|^{2}=1.
Comentário didático final: fisicamente isso significa que os coeficientes c_{n} são amplitudes em uma base ortonormal de estados estacionários e as probabilidades |c_{n}|^{2} somam 1. Uma forma prática de calcular cada coeficiente na prova é usar projeção:
c_{n}=\int_{0}^{a}\psi'_{n}(x)^{*}\Psi(x,0)\,dx,
o que segue da ortonormalidade (projeção de \Psi sobre a base).