A solução geral para a equação de Schrodinger dependente do tempo é dada por:
\Psi(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \sqrt{\frac{2}{a}} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{a} x\right) e^{-i\left(\frac{n^{2} \pi^{2} \hbar}{2 m a^{2}}\right) t} .
Mostre que
\sum_{n=1}^{\infty}\left|c_{n}\right|^{2}=1
Use a condição de normalização para \Psi(x, 0)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \psi^{\prime} n(x).

Passo 1

O enunciado dá a solução geral dependente do tempo
\Psi(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}\sqrt{\frac{2}{a}}\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right)e^{-i\left(\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar}{2ma^{2}}\right)t}
e pede para mostrar que
\sum_{n=1}^{\infty}\left|c_{n}\right|^{2}=1,
usando a condição de normalização da função de onda no instante inicial, isto é \Psi(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\psi'_n(x). As informações relevantes que temos são:
  • A base de funções estacionárias \psi'_n(x) é \psi'_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right).
  • A função de onda deve ser normalizada em x\in[0,a], isto é \int_{0}^{a}|\Psi(x,0)|^{2}\,dx=1.
    Não vou resolver nada ainda neste passo; apenas listei o que o enunciado dá e o que é pedido.

Passo 2

Explicação e prova da ortonormalidade das funções \psi'_n(x)\). Isto é crucial: precisamos que \[\int_{0}^{a}\psi'_n(x)^{*}\psi'_m(x)\,dx=\delta_{nm},
onde \delta_{nm} é o delta de Kronecker ( \delta_{nm}=1 se n=m e 0 se n\ne m). Vamos calcular a integral básica entre as funções seno (a conjugação não altera porque são reais):
I_{nm}=\int_{0}^{a}\sin\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\sin\!\left(\frac{m\pi}{a}x\right)\,dx.
Usamos a identidade trigonométrica
\sin A\sin B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B)-\cos(A+B)\big)
para facilitar a integral. Com A=\frac{n\pi}{a}x e B=\frac{m\pi}{a}x obtemos
I_{nm}=\frac{1}{2}\int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{(n-m)\pi}{a}x\right)\,dx-\frac{1}{2}\int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{(n+m)\pi}{a}x\right)\,dx.
Cada integral de cosseno é do tipo \int_{0}^{a}\cos(k\pi x/a)\,dx. Se k é inteiro não-nulo, essa integral vale zero porque \cos completa um número inteiro de meias-períodos sobre o intervalo [0,a]. Logo, se n\ne m temos n-m inteiro não-nulo e ambos os termos se anulam, dando I_{nm}=0. Se n=m então o primeiro termo é \int_{0}^{a}1\,dx=a e o segundo é \int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{2n\pi}{a}x\right)\,dx=0, dando I_{nn}=a/2.
Portanto
\int_{0}^{a}\sin\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\sin\!\left(\frac{m\pi}{a}x\right)\,dx=\begin{cases}0,&n\ne m,\\[4pt]\dfrac{a}{2},&n=m.\end{cases}
Multiplicando pelos fatores normalizadores \sqrt{\frac{2}{a}}\] temos \[\int_{0}^{a}\psi'_n(x)\psi'_m(x)\,dx=\delta_{nm},\] ou seja, as \(\psi'_n formam uma base ortonormal em L^{2}(0,a). (Esse é um ponto-chave: ortonormalidade permite decompor funções e reduzir integrais duplas a somas simples.)]

Passo 3

Relembrando a condição de normalização e escrevendo \Psi(x,0) pela expansão:
\Psi(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\psi'_n(x).
A normalização exige
\int_{0}^{a}|\Psi(x,0)|^{2}\,dx=1.
Vamos calcular o integrando usando Produto Interno. Primeiro escrevemos o módulo ao quadrado como \Psi^{*}(x,0)\Psi(x,0). Substituindo a série:
|\Psi(x,0)|^{2}=\Psi^{*}(x,0)\Psi(x,0)=\left(\sum_{m=1}^{\infty}c_{m}^{*}\psi'_{m}(x)\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\psi'_{n}(x)\right).
Aqui usei índices diferentes m e n para deixar claro que haverá soma dupla.

Passo 4

Troque a ordem de soma e integral (justificação intuitiva: a série corresponde a uma função quadrado-integrável e a troca é permitida neste contexto padrão; em provas formais usa-se teoremas de convergência dominada ou completude de L^{2}). Assim
\int_{0}^{a}|\Psi(x,0)|^{2}\,dx=\int_{0}^{a}\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}c_{m}^{*}c_{n}\psi'_{m}(x)\psi'_{n}(x)\,dx =\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}c_{m}^{*}c_{n}\int_{0}^{a}\psi'_{m}(x)\psi'_{n}(x)\,dx.
Agora aplicamos a ortonormalidade calculada no Passo 2:
\int_{0}^{a}\psi'_{m}(x)\psi'_{n}(x)\,dx=\delta_{mn}.
Portanto a soma dupla colapsa:
\int_{0}^{a}|\Psi(x,0)|^{2}\,dx=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}c_{m}^{*}c_{n}\delta_{mn} =\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}^{*}c_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}|c_{n}|^{2}.

Passo 5

Como a condição de normalização impõe \int_{0}^{a}|\Psi(x,0)|^{2}\,dx=1, juntando com o resultado do Passo 4 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}|c_{n}|^{2}=1.
Comentário didático final: fisicamente isso significa que os coeficientes c_{n} são amplitudes em uma base ortonormal de estados estacionários e as probabilidades |c_{n}|^{2} somam 1. Uma forma prática de calcular cada coeficiente na prova é usar projeção:
c_{n}=\int_{0}^{a}\psi'_{n}(x)^{*}\Psi(x,0)\,dx,
o que segue da ortonormalidade (projeção de \Psi sobre a base).

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty}\left|c_{n}\right|^{2}=1

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