( 2,0 pontos) Sejam as expressões
\int \vec{E} \cdot \overrightarrow{d l}=\frac{d \varphi_{B}}{d t} \text { e } \int \vec{B} \cdot \overrightarrow{d l}=\mu_{0} I
que são as espressões integrais para a lei de Faraday e lei de Ampère, respectivamente. Olhando para essas expressões explique, com argumentos de simetria, qual o problema que existe na expressão da lei de Ampère e o que foi feito para corrigir esse problema.

Passo 1

O enunciado apresenta as formas integrais da lei de Faraday
\int \vec{E}\cdot d\vec{l} = \frac{d\Phi_{B}}{dt}
e da lei de Ampère
\int \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_{0}\,I.
O conteúdo é eletromagnetismo, mais especificamente as equações de Maxwell em forma integral. Para analisar o problema, vamos usar o conceito de superfície qualquer limitada pelo mesmo contorno e o princípio de conservação de carga.

Passo 2

Considere um capacitor sendo carregado por uma corrente I. Escolhemos um laço fechado \mathcal{C} que circunda o fio de alimentação do capacitor. A lei de Ampère original afirma
\oint_{\mathcal{C}}\vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_{0}\,I_{\text{enc}}.
Agora, tomamos duas superfícies distintas, ambas com fronteira \mathcal{C}:
  1. A superfície S_{1} que atravessa o fio, onde I_{\text{enc}}=I.
  2. A superfície S_{2} que “passa” entre as placas do capacitor, onde não há corrente de condução atravessando, isto é, I_{\text{enc}}=0.

Passo 3

Aplicando a lei de Ampère em S_{1} obtemos
\oint_{\mathcal{C}}\vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_{0}\,I,
enquanto em S_{2} teríamos
\oint_{\mathcal{C}}\vec{B}\cdot d\vec{l} = 0.
Essa contradição mostra que a lei de Ampère, sem correção, depende da escolha da superfície, violando o princípio de conservação de carga e a univocidade do campo magnético.

Passo 4

Para restaurar a consistência e simetria entre os campos elétrico e magnético (já que Faraday mostra que variações de \Phi_{B} geram \vec{E}), Maxwell introduziu a corrente de deslocamento, definida por
I_{d} = \varepsilon_{0}\,\frac{d\Phi_{E}}{dt},
onde \Phi_{E} é o fluxo do campo elétrico através da superfície. A lei de Ampère corrigida (lei de Ampère–Maxwell) fica
\oint_{\mathcal{C}}\vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_{0}\,I + \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{d\Phi_{E}}{dt}.

Passo 5

Com o termo \mu_{0}\varepsilon_{0}\,d\Phi_{E}/dt incluído, tanto S_{1} quanto S_{2} registram a mesma “corrente efetiva” atravessando a superfície: em S_{1} a corrente de condução I domina e em S_{2} a corrente de deslocamento substitui I. Assim, elimina-se a contradição e garante-se a conservação de carga e a simetria entre as equações de Maxwell.

Resposta

A lei de Ampère apresentava uma inconsistência ao escolher superfícies diferentes limitadas pelo mesmo laço (por exemplo, em torno de um capacitor em carga). Maxwell corrigiu isso incluindo o termo da corrente de deslocamento \mu_{0}\varepsilon_{0}\,d\Phi_{E}/dt, obtendo a lei de Ampère–Maxwell.

Exercícios relacionados