Suponha que o vetor aleatório (
) tenha distribuição uniforme no círculo
.
e
são independentes?
Passo 1
O enunciado diz que o vetor aleatório
é uniforme no círculo
A questão pergunta se
e
são independentes. Para isso, vamos usar a definição de independência em termos de densidade conjunta e densidades marginais.
Passo 2
Como a distribuição é uniforme em
, a densidade conjunta é constante dentro do círculo e nula fora. Como a área de
é
, a densidade é
Passo 3
Para obter a densidade marginal de
, integra-se
em
:
Analogamente,
Passo 4
Se
e
fossem independentes, deveria valer
Como
não é igual a
para todos
dentro do círculo, concluímos que
.
Resposta
Não,
e
não são independentes.