Suponha que o vetor aleatório ( X, Y ) tenha distribuição uniforme no círculo C= \left\{(x, y): x^{2}+y^{2}<1\right\}. X e Y são independentes?

Passo 1

O enunciado diz que o vetor aleatório (X,Y) é uniforme no círculo
C = \{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}.
A questão pergunta se X e Y são independentes. Para isso, vamos usar a definição de independência em termos de densidade conjunta e densidades marginais.

Passo 2

Como a distribuição é uniforme em C, a densidade conjunta é constante dentro do círculo e nula fora. Como a área de C é \pi, a densidade é
f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{\pi},\quad x^2+y^2<1.

Passo 3

Para obter a densidade marginal de X, integra-se f_{X,Y}(x,y) em y:
f_X(x) = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{1}{\pi}\,dy = \frac{2}{\pi}\sqrt{1-x^2}, \quad |x|<1.
Analogamente,
f_Y(y) = \frac{2}{\pi}\sqrt{1-y^2}, \quad |y|<1.

Passo 4

Se X e Y fossem independentes, deveria valer
f_{X,Y}(x,y) \;=\; f_X(x)\,f_Y(y) \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\pi} \;=\;\frac{2}{\pi}\sqrt{1-x^2}\;\cdot\;\frac{2}{\pi}\sqrt{1-y^2} =\frac{4}{\pi^2}\sqrt{1-x^2}\,\sqrt{1-y^2}.
Como \dfrac{4}{\pi^2}\sqrt{1-x^2}\,\sqrt{1-y^2} não é igual a \dfrac{1}{\pi} para todos (x,y) dentro do círculo, concluímos que f_{X,Y}(x,y)\neq f_X(x)\,f_Y(y).

Resposta

Não, X e Y não são independentes.

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