Verdadeiro ou falso? (Se for falso, dê um contraexemplo; se for verdadeiro, justifique.)
b) ( ) Um sistema
, em que
é invertível, não possui variáveis livres.
b) ( ) Um sistema
Passo 1
Então, a questão é: Verdadeiro ou falso? (Se for falso, dê um contraexemplo; se for verdadeiro, justifique.)
b) ( ) Um sistema , em que
é invertível, não possui variáveis livres.
b) ( ) Um sistema
Vamos resolver isso usando conceitos de matrizes e sistemas lineares. Vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e o que são variáveis livres.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz
é invertível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. Isso só é possível se
for uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) e tiver determinante diferente de zero.
Passo 3
Agora, sobre sistemas lineares
. Se
é invertível, isso significa que o sistema tem uma única solução, que pode ser encontrada multiplicando ambos os lados por
:
.
Passo 4
Variáveis livres acontecem quando o sistema tem infinitas soluções, geralmente associadas a parâmetros livres em sistemas homogêneos ou quando a matriz não tem posto completo. Mas se
é invertível, o sistema tem exatamente uma solução, então não há espaço para variáveis livres.
Resposta
Verdadeiro. Um sistema
, onde
é invertível, não possui variáveis livres, pois a matriz invertível garante uma única solução para o sistema.