Verdadeiro ou falso? (Se for falso, dê um contraexemplo; se for verdadeiro, justifique.)
b) ( ) Um sistema A x=b, em que A é invertível, não possui variáveis livres.

Passo 1

Então, a questão é: Verdadeiro ou falso? (Se for falso, dê um contraexemplo; se for verdadeiro, justifique.)
b) ( ) Um sistema , em que é invertível, não possui variáveis livres.
Vamos resolver isso usando conceitos de matrizes e sistemas lineares. Vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e o que são variáveis livres.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Isso só é possível se for uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) e tiver determinante diferente de zero.

Passo 3

Agora, sobre sistemas lineares . Se é invertível, isso significa que o sistema tem uma única solução, que pode ser encontrada multiplicando ambos os lados por : .

Passo 4

Variáveis livres acontecem quando o sistema tem infinitas soluções, geralmente associadas a parâmetros livres em sistemas homogêneos ou quando a matriz não tem posto completo. Mas se é invertível, o sistema tem exatamente uma solução, então não há espaço para variáveis livres.

Resposta

Verdadeiro. Um sistema , onde é invertível, não possui variáveis livres, pois a matriz invertível garante uma única solução para o sistema.

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