(1,5 pontos) Uma série de potências pode convergir para todos os números racionais e divergir para todos os irracionais?. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma série de potências
que converja para todo
e diverja para todo
.
Conteúdo: raio de convergência de série de potências e natureza do conjunto de convergência.
Conteúdo: raio de convergência de série de potências e natureza do conjunto de convergência.
Passo 2
Pela teoria de séries de potências, existe um número
(o raio de convergência) tal que a série converge absolutamente para todo
com
e diverge para todo
com
Nos pontos de fronteira
a convergência pode depender de
, mas trata-se de, no máximo, dois pontos.
Passo 3
O conjunto
é um intervalo aberto em
. Se
, esse intervalo contém não só infinitos racionais mas também infinitos irracionais (pois irracionais são densos em qualquer intervalo não trivial).
Passo 4
Se
, a série converge apenas em
, o que não atende a “convergir em todos os racionais”. Se
, qualquer intervalo
inclui irracionais. No máximo dois pontos de fronteira poderiam ser irracionais, mas são finitos, enquanto os irracionais no interior são infinitos.
Resposta
Não. A região de convergência de uma série de potências é sempre um intervalo (mais, no máximo dois pontos extras), e todo intervalo não trivial contém irracionais. Portanto não se pode ter convergência exatamente em
e divergência em todos os irracionais.