(1,5 pontos) Uma série de potências pode convergir para todos os números racionais e divergir para todos os irracionais?. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma série de potências
sumn=0^inftyan,(x - x0)^n
que converja para todo xinQ e diverja para todo xnotinQ.
Conteúdo: raio de convergência de série de potências e natureza do conjunto de convergência.

Passo 2

Pela teoria de séries de potências, existe um número R>=0 (o raio de convergência) tal que a série converge absolutamente para todo x com
|x - x0| < R,
e diverge para todo x com
|x - x0| > R
Nos pontos de fronteira |x-x0|=R a convergência pode depender de x, mas trata-se de, no máximo, dois pontos.

Passo 3

O conjunto
xmid |x - x0|<R
é um intervalo aberto em R. Se R>0, esse intervalo contém não só infinitos racionais mas também infinitos irracionais (pois irracionais são densos em qualquer intervalo não trivial).

Passo 4

Se R=0, a série converge apenas em x=x0, o que não atende a “convergir em todos os racionais”. Se R>0, qualquer intervalo (x0-R,x0+R) inclui irracionais. No máximo dois pontos de fronteira poderiam ser irracionais, mas são finitos, enquanto os irracionais no interior são infinitos.

Resposta

Não. A região de convergência de uma série de potências é sempre um intervalo (mais, no máximo dois pontos extras), e todo intervalo não trivial contém irracionais. Portanto não se pode ter convergência exatamente em Q e divergência em todos os irracionais.

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