(2,5 pontos) Um sistema massa-mola amortecido ideal (sem atrito) é descrito pela equação:

onde:
m y^prime prime(t)+k y(t)=F(t)
  • m=1 kg é a massa,
  • k=1 N / m é a constante da mola,
  • F(t) é uma força externa aplicada.
Inicialmente, o sistema está em repouso: y(0)=0 e y^prime(0)=0.
A força que é aplicada repentinamente e permanece constante depois, ocorre no tempo t=pi segundos, modelado por uma função degrau:
F(t)=upi(t)
Use a Transformada de Laplace para determinar a posição y(t) da massa para t>0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear
m,y''(t)+k,y(t)=F(t)
com m=1, k=1 e F(t)=upi(t), sujeito a y(0)=0 e y'(0)=0. O conteúdo envolvido é a Transformada de Laplace em equações diferenciais e a propriedade de desfasamento (translação) no tempo para a função degrau.

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados de
y''(t)+y(t)=upi(t)
e usando Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s) e Ly=Y(s), obtemos
s^2Y(s)+Y(s)=e^-pi ss,
ou seja
Y(s),(s^2+1)=e^-pi ss Longrightarrow Y(s)=e^-pi ss,(s^2+1)

Passo 3

Fazemos frações parciais em
1s,(s^2+1) =As+Bs+Cs^2+1
Como não há termo em 1/s^2+1, nota-se que C=0 e
1 = A(s^2+1)+(Bs)Longrightarrow A=1, B=-1
Logo
1s,(s^2+1)=1s-ss^2+1,
de modo que
Y(s)=e^-pi sl(1s-ss^2+1r)

Passo 4

Aplicando a Transformada Inversa e a propriedade
L^-1e^-pi sF(s)=upi(t),f(t-pi), temos
L^-1tfrac1s=1, L^-1tfracss^2+1=cos t,
portanto
y(t) =;upi(t)l[,1-cosl(t-pir)r]

Passo 5

Para escrever em forma de peça, note que para 0<t<pi vale upi(t)=0, e para t>=pi vale upi(t)=1. Assim
y(t)= 0, & 0<t<pi,[6pt] 1-cosl(t-pir), & t>=pi ]

Resposta

y(t)=upi(t),l(1-cos(t-pi)r)

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