(2,5 pontos) Um sistema massa-mola amortecido ideal (sem atrito) é descrito pela equação:
onde:
-
é a massa,
-
é a constante da mola,
-
é uma força externa aplicada.
Inicialmente, o sistema está em repouso:
e
.
A força que é aplicada repentinamente e permanece constante depois, ocorre no tempo
segundos, modelado por uma função degrau:
Use a Transformada de Laplace para determinar a posição
da massa para
.
onde:
A força que é aplicada repentinamente e permanece constante depois, ocorre no tempo
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear
com
,
e
, sujeito a
e
. O conteúdo envolvido é a Transformada de Laplace em equações diferenciais e a propriedade de desfasamento (translação) no tempo para a função degrau.
Passo 2
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados de
e usando
e
, obtemos
ou seja
Passo 3
Fazemos frações parciais em
Como não há termo em
, nota-se que
e
Logo
de modo que
Passo 4
Aplicando a Transformada Inversa e a propriedade
, temos
portanto
Passo 5
Para escrever em forma de peça, note que para
vale
, e para
vale
. Assim