3- (4 pontos) Suponha que uma certa quantidade de carga negativa se distribui de forma homogênea em um plano infinito horizontal.
(a) Determine o campo elétrico em um ponto P, localizado nas proximidades do plano, em função da densidade superficial de carga sigma.
(b) Se uma partícula de carga -q e massa m encontra-se em repouso, flutuando em um ponto próximo ao plano carregado, qual deve ser a densidade superficial de carga sigma do plano?

Passo 1

O enunciado trata de um plano infinito, carregado com densidade superficial uniforme sigma, e pede em (a) o campo elétrico próximo ao plano e em (b) o valor de sigma para que uma partícula de carga -q e massa m flutue em repouso. O conteúdo é eletrostática com a Lei de Gauss e equilíbrio de forças.

Passo 2

Para achar o campo de um plano infinito usamos a Lei de Gauss. Escolhemos uma superfície gaussiana em forma de um cilindro (“pílula”) atravessando o plano, com área de cada base igual a A. A carga total envolvida é
Qint = sigma,A
O fluxo pelas duas bases é 2E,A (os lados não contribuem, pois o campo é paralelo a eles). Logo, Gauss dá
Phi = oint vec Ecdot dvec A = 2E,A = Qintvarepsilon0 = sigma,Avarepsilon0

Passo 3

Da equação acima segue o módulo do campo próximo ao plano:
E = sigma2,varepsilon0
Como sigma é negativa, o vetor campo aponta no sentido de atrair cargas positivas para o plano (ou seja, em direção ao plano).

Passo 4

Agora consideramos a partícula de carga -q. A força elétrica sobre ela é
vec Fe = (-q),vec E
Se ela está em repouso, flutuando, a força elétrica para cima deve equilibrar o peso para baixo:
|vec Fe| = mg
Como vec E aponta para baixo (plano negativo), vec Fe aponta para cima com módulo qE. Portanto
q,E = mg

Passo 5

Substituindo E = sigma/(2varepsilon0) em qE = mg temos
q,sigma2,varepsilon0 = mg Longrightarrow sigma = 2,varepsilon0,m,gq
Como o plano é negativamente carregado, o sinal correto é
sigma = -,2,varepsilon0,m,gq

Resposta

(a) O campo elétrico próximo ao plano é
boxedvec E = sigma2,varepsilon0,hat n,
onde hat n é a normal ao plano, apontando para o lado onde se mede o campo.
(b) Para que a partícula de carga -q flutue em repouso, a densidade deve ser
boxedsigma = -,2,varepsilon0,m,gq

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