3- (4 pontos) Suponha que uma certa quantidade de carga negativa se distribui de forma homogênea em um plano infinito horizontal.
(a) Determine o campo elétrico em um ponto
, localizado nas proximidades do plano, em função da densidade superficial de carga
.
(b) Se uma partícula de carga
e massa
encontra-se em repouso, flutuando em um ponto próximo ao plano carregado, qual deve ser a densidade superficial de carga
do plano?
(a) Determine o campo elétrico em um ponto
(b) Se uma partícula de carga
Passo 1
O enunciado trata de um plano infinito, carregado com densidade superficial uniforme
, e pede em (a) o campo elétrico próximo ao plano e em (b) o valor de
para que uma partícula de carga
e massa
flutue em repouso. O conteúdo é eletrostática com a Lei de Gauss e equilíbrio de forças.
Passo 2
Para achar o campo de um plano infinito usamos a Lei de Gauss. Escolhemos uma superfície gaussiana em forma de um cilindro (“pílula”) atravessando o plano, com área de cada base igual a
. A carga total envolvida é
O fluxo pelas duas bases é
(os lados não contribuem, pois o campo é paralelo a eles). Logo, Gauss dá
Passo 3
Da equação acima segue o módulo do campo próximo ao plano:
Como
é negativa, o vetor campo aponta no sentido de atrair cargas positivas para o plano (ou seja, em direção ao plano).
Passo 4
Agora consideramos a partícula de carga
. A força elétrica sobre ela é
Se ela está em repouso, flutuando, a força elétrica para cima deve equilibrar o peso para baixo:
Como
aponta para baixo (plano negativo),
aponta para cima com módulo
. Portanto
Passo 5
Substituindo
em
temos
Como o plano é negativamente carregado, o sinal correto é
Resposta
(a) O campo elétrico próximo ao plano é
onde
é a normal ao plano, apontando para o lado onde se mede o campo.
(b) Para que a partícula de carga
flutue em repouso, a densidade deve ser