(2,0 pontos) Suponha que uma partícula de massa m em uma caixa unidimensional seja descrita pela função de onda
Psi(x, t)=raiz1a sin (pi xa) e^-i E1 t / hbar+raiz1a sin (2 pi xa) e^-i E2 t / hbar
encontre a corrente de probabilidade para esta função de onda.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de onda superposta de uma partícula numa caixa unidimensional de comprimento a:
Psi(x,t)=raiz1asin!gl(pi xagr)e^-iE1t/hbar +raiz1asin!gl(2pi xagr)e^-iE2t/hbar
Queremos encontrar a corrente de probabilidade j(x,t). O conteúdo aqui é mecânica quântica, e vamos usar a fórmula geral da corrente de probabilidade para uma função de onda unidimensional.

Passo 2

A definição da corrente de probabilidade é
j(x,t)=hbar2mil[Psi^*,partialxPsi-Psi,partialxPsi^*r] =hbarmIml(Psi^*,partialxPsir)
Aqui Im denota a parte imaginária.

Passo 3

Primeiro escrevemos Psi e seu derivado espacial. Chamando
phi1(x)=sin!l(tfracpi xar), phi2(x)=sin!l(tfrac2pi xar),
temos
Psi=1raizal(phi1e^-iomega1 t+phi2e^-iomega2 tr), partialxPsi=1raizal(phi1'e^-iomega1 t+phi2'e^-iomega2 tr),
onde omegan=En/hbar e
phi1'=piacos!l(tfracpi xar), phi2'=2piacos!l(tfrac2pi xar)

Passo 4

Ao calcular Psi^*,partialxPsi, os termos “diagonais” phi1phi1' e phi2phi2' são reais e não contribuem para a parte imaginária. Sobram os termos cruzados:
Psi^*,partialxPsi;supset;1al[ phi1phi2'e^-i(omega2-omega1)t +phi2phi1'e^+i(omega2-omega1)t r]
A parte imaginária desse trecho é
Iml(Psi^*partialxPsir) =1al[phi2phi1'-phi1phi2'r]sinl[(omega2-omega1)tr]

Passo 5

Substituindo phi1, phi2 e suas derivadas,
phi2phi1'-phi1phi2' =sin!l(tfrac2pi xar)piacos!l(tfracpi xar) -sin!l(tfracpi xar)2piacos!l(tfrac2pi xar)
Usando identidades trigonométricas chega-se a
phi2phi1'-phi1phi2' =2piasin^3!l(tfracpi xar)

Passo 6

Finalmente,
j(x,t) =hbarmIml(Psi^*partialxPsir) =hbarm1a,2piasin^3!l(tfracpi xar) sin!l[(omega2-omega1)tr]
Como omega2-omega1=(E2-E1)/hbar, temos

Resposta

j(x,t) =2hbarpim,a^2, sin^3!l(pi xar), sin!l(E2-E1hbar,tr)

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