Sorteio 3 bolas em uma urna com 3 bolas azuis e 7 verdes, só que eu não digo se vou fazer com ou sem reposição. Decido por uma ou outra opção aleatoriamente, com igual probabilidade, mas vocês não sabem qual eu escolhi.
Agora, sabendo que eu fiz com reposição, o evento {sorteei 2 bolas azuis} é independente do evento {a primeira bola que eu sorteei era azul}?

Passo 1

O enunciado diz que fizemos 3 sorteios com reposição numa urna com 3 bolas azuis e 7 verdes, então cada sorteio é independente e a probabilidade de tirar azul em qualquer sorteio é p=3/10. Precisamos checar se os eventos \!A=\{\text{“sorteei exatamente 2 azuis em 3 tiragens”}\} e \!B=\{\text{“a primeira bola foi azul”}\}
são independentes, isto é, se \Pr(A\mid B)=\Pr(A).

Passo 2

Calculamos \Pr(B), a probabilidade de a primeira bola ser azul. Como há 3 azuis em 10 bolas,
\Pr(B)=\frac{3}{10}=0,3.

Passo 3

Agora \Pr(A) é a probabilidade de ter exatamente 2 azuis em 3 sorteios independentes com p=0,3. Pela distribuição binomial:
\Pr(A)=\binom{3}{2}(0,3)^2(0,7)^1 =3\cdot0,09\cdot0,7 =0,189.

Passo 4

Para \Pr(A\mid B), já sabemos que o primeiro sorteio foi azul, então precisamos de exatamente 1 azul nos 2 sorteios restantes. Ainda é binomial com n=2 e p=0,3:
\Pr(A\mid B) =\binom{2}{1}(0,3)^1(0,7)^1 =2\cdot0,3\cdot0,7 =0,42.

Passo 5

Como \Pr(A\mid B)=0,42\neq0,189=\Pr(A), concluímos que A e B não são independentes.

Resposta

Os eventos não são independentes.

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