Seja X \sim \mathcal{N}\left(\frac{5}{4}, \frac{1}{9}\right). Determine:
P\left(\left|X-\frac{5}{4}\right| \leq \frac{1}{2}\right)

Passo 1

O enunciado diz que
X \sim \mathcal{N}\!\Bigl(\tfrac{5}{4},\,\tfrac{1}{9}\Bigr)
e pede a probabilidade
P\Bigl(\bigl|X-\tfrac{5}{4}\bigr|\le \tfrac{1}{2}\Bigr).
O conteúdo aqui é a padronização de uma variável normal e o uso da função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 2

Escrevemos a probabilidade em termos de intervalos em X:
P\Bigl(\bigl|X-\tfrac{5}{4}\bigr|\le \tfrac{1}{2}\Bigr) = P\Bigl(\tfrac{5}{4}-\tfrac{1}{2}\le X\le \tfrac{5}{4}+\tfrac{1}{2}\Bigr).

Passo 3

Padronizamos usando
Z = \frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu=\tfrac{5}{4} e \sigma=\sqrt{\tfrac{1}{9}}=\tfrac{1}{3}. Então os limites ficam
\frac{\tfrac{5}{4}-\tfrac{1}{2}-\tfrac{5}{4}}{\tfrac{1}{3}} = \frac{-\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}} = -\tfrac{3}{2}, \quad \frac{\tfrac{5}{4}+\tfrac{1}{2}-\tfrac{5}{4}}{\tfrac{1}{3}} = \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}} = \tfrac{3}{2}.
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P\Bigl(\tfrac{5}{4}-\tfrac{1}{2}\le X\le \tfrac{5}{4}+\tfrac{1}{2}\Bigr) = P\bigl(-\tfrac{3}{2}\le Z\le \tfrac{3}{2}\bigr).

Passo 4

Em termos da função de distribuição acumulada \Phi da normal padrão:
P\bigl(-\tfrac{3}{2}\le Z\le \tfrac{3}{2}\bigr) = \Phi\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr) - \Phi\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr).
Como \Phi(-a)=1-\Phi(a), temos
\Phi\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr) - \Phi\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) = \Phi\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr) - \bigl[1-\Phi\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)\bigr] = 2\,\Phi\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr) -1.

Passo 5

Da tabela ou de calculadora,
\Phi\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)\approx 0,9332.
Portanto
2\cdot 0,9332 -1 = 0,8664.

Resposta

P\Bigl(\bigl|X-\tfrac{5}{4}\bigr|\le \tfrac{1}{2}\Bigr)\approx 0,8664.

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