(2 pontos) O tempo T, em minutos, necessário para um processador industrial produzir um item eletrônico é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade:
t 2 3 4 5 6 7
c|c|c|c|c|c|c hline t & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 hline$p(t)$ & 0,10 & 0,15 & 0,25 & 0,20 & 0,20 & 0,10 hline 0,10 0,15 0,25 0,20 0,20 0,10
Calcular: E(T) ; sigmat; coeficiente de variação
l E(T)=4,55 sigmat=14654 ldots omega=0,3220 ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o tempo T , em minutos, que um processador leva para produzir um item eletrônico segue uma distribuição de probabilidade específica. Nosso objetivo é calcular a Esperança Matemática E(T) , o Desvio Padrão sigmaT e o Coeficiente de Variação omega dessa variável aleatória. Para isso, vamos usar conceitos básicos de estatística como média ponderada, variância e desvio padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a Esperança Matemática E(T) . A esperança é basicamente a média ponderada dos valores que T pode assumir, multiplicados pelas suas respectivas probabilidades.
A fórmula é:
E(T) = sumi ti cdot p(ti)
Onde ti são os valores de T e p(ti) são as probabilidades correspondentes.
Vamos fazer as contas:
E(T) = 2 cdot 0,10 + 3 cdot 0,15 + 4 cdot 0,25 + 5 cdot 0,20 + 6 cdot 0,20 + 7 cdot 0,10
E(T) = 0,20 + 0,45 + 1,00 + 1,00 + 1,20 + 0,70 = 4,55
Então, E(T) = 4,55 minutos.

Passo 3

Agora vamos calcular a Variância Var(T) . A variância mede o quanto os valores de T estão espalhados em relação à média. A fórmula é:
Var(T) = sumi (ti - E(T))^2 cdot p(ti)
Vamos calcular cada termo:
(ti - 4,55)^2 cdot p(ti)
Para cada ti :
  • Para t = 2 :
(2 - 4,55)^2 cdot 0,10 = ( -2,55 )^2 cdot 0,10 = 6,5025 cdot 0,10 = 0,65025
  • Para t = 3 :
(3 - 4,55)^2 cdot 0,15 = ( -1,55 )^2 cdot 0,15 = 2,4025 cdot 0,15 = 0,360375
  • Para t = 4 :
(4 - 4,55)^2 cdot 0,25 = ( -0,55 )^2 cdot 0,25 = 0,3025 cdot 0,25 = 0,075625
  • Para t = 5 :
(5 - 4,55)^2 cdot 0,20 = ( 0,45 )^2 cdot 0,20 = 0,2025 cdot 0,20 = 0,0405
  • Para t = 6 :
(6 - 4,55)^2 cdot 0,20 = ( 1,45 )^2 cdot 0,20 = 2,1025 cdot 0,20 = 0,4205
  • Para t = 7 :
(7 - 4,55)^2 cdot 0,10 = ( 2,45 )^2 cdot 0,10 = 6,0025 cdot 0,10 = 0,60025
Agora, somamos todos esses valores:
Var(T) = 0,65025 + 0,360375 + 0,075625 + 0,0405 + 0,4205 + 0,60025 = 2,1475

Passo 4

Com a variância em mãos, podemos encontrar o Desvio Padrão sigmaT , que é a raiz quadrada da variância:
sigmaT = raizVar(T) = raiz2,1475 approx 1,464

Passo 5

Por fim, vamos calcular o Coeficiente de Variação omega . Este coeficiente nos diz quão dispersos os dados estão em relação à média, expressando a variação em termos percentuais. A fórmula é:
omega = sigmaTE(T) = 1,4644,55 approx 0,321

Resposta

l E(T) = 4,55 minutos sigmaT approx 1,464 minutos omega approx 0,321

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