(2 pontos) X é uma v.a. contínua, com a seguinte função densidade de probabilidade:
lr f(x)=x2,5 & 2 <= x <= 3 f(x)=0 & caso contrário á
Calcular: E(X) ; sigmax; coeficiente de variação
l E(x)=integral2^3 x x2,5 d x=12,5 integral2^3 x^2 d x=12,5 x^33|2 ^3=12,5 cdot(27-83)=2,53^- sigmax^2=0,08 2 Rightarrow sigmax=0,2867 ldots omega=0,1131 ldots

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Probabilidade e Estatística! A gente tem uma variável aleatória contínua [X) com uma função densidade de probabilidade definida por:
á
Precisamos calcular três coisas: a esperança matemática e o coeficiente de variação. Para isso, vamos usar integrais e algumas fórmulas de estatística básica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a esperança matemática E(X) . A esperança é basicamente a média ponderada dos valores que a variável pode assumir, ponderada pela probabilidade de cada valor. Matematicamente, para uma variável contínua, é dada por:
E(X) = integrala^b x cdot f(x) , dx
No nosso caso, a = 2 e b = 3 , então:
E(X) = integral2^3 x cdot x2,5 , dx = 12,5 integral2^3 x^2 , dx

Passo 3

Vamos resolver a integral:
integral2^3 x^2 , dx = x^33 |2^3 = 3^33 - 2^33 = 273 - 83 = 193
Portanto:
E(X) = 12,5 cdot 193 approx 2,53

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância sigmaX^2 , que mede o quanto os valores de X se afastam da média. A fórmula é:
sigmaX^2 = E(X^2) - [E(X)]^2
Primeiro, encontramos E(X^2) :
E(X^2) = integral2^3 x^2 cdot x2,5 , dx = 12,5 integral2^3 x^3 , dx = 12,5 x^44 |2^3 = 12,5 cdot ( 814 - 164 ) = 6510 = 6,5
Então:
sigmaX^2 = 6,5 - (2,53)^2 approx 6,5 - 6,40 = 0,10
O desvio padrão sigmaX é a raiz quadrada da variância:
sigmaX = raiz0,10 approx 0,316

Passo 5

Por último, vamos calcular o coeficiente de variação omega , que é uma medida relativa da dispersão dos dados em relação à média. É dado por:
omega = sigmaXE(X)
Substituindo os valores que encontramos:
omega = 0,3162,53 approx 0,125
Multiplicando por 100 para obter em porcentagem:
omega approx 12,5%

Resposta

E(X) approx 2,53; sigmaX approx 0,316; Coeficiente de variação approx 12,5% çã

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