Pelos pontos A=(-6 ; 6 ;-5) e B=(12 ;-6 ; 1) traça-se uma reta. Ache os pontos de interseção desta reta com os planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta nos dá dois pontos no espaço tridimensional, A = (-6, 6, -5) e B = (12, -6, 1) . A gente precisa traçar uma reta que passa por esses pontos e descobrir onde essa reta cruza os planos coordenados, ou seja, os planos xy , yz e xz . Para resolver isso, vamos usar equações de reta no espaço e entender como encontrar o ponto de interseção com cada plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação paramétrica da reta que passa pelos pontos [A) e . A equação paramétrica de uma reta é dada por:
onde são as direções da reta.
Vamos usar o ponto como e calcular as direções , , e usando a diferença entre as coordenadas de e :
Então, as equações paramétricas da reta são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a interseção dessa reta com os planos coordenados.
Interseção com o plano xy :
No plano xy , a coordenada z = 0 . Vamos substituir z = 0 na equação paramétrica da reta e resolver para t :
0 = -5 + 6t 6t = 5 t = 56
Agora, substituímos t = 56 nas equações de x e y :
x = -6 + 18 ( 56 ) = -6 + 15 = 9 y = 6 - 12 ( 56 ) = 6 - 10 = -4
Então, o ponto de interseção com o plano xy é (9, -4, 0) .
Interseção com o plano yz :
No plano yz , a coordenada x = 0 . Substituímos x = 0 na equação paramétrica da reta:
0 = -6 + 18t 18t = 6 t = 618 = 13
Substituímos t = 13 nas equações de y e z :
y = 6 - 12 ( 13 ) = 6 - 4 = 2 z = -5 + 6 ( 13 ) = -5 + 2 = -3
Então, o ponto de interseção com o plano yz é (0, 2, -3) .
Interseção com o plano xz :
No plano xz , a coordenada y = 0 . Substituímos y = 0 na equação paramétrica da reta:
0 = 6 - 12t 12t = 6 t = 612 = 12
Substituímos t = 12 nas equações de x e z :
x = -6 + 18 ( 12 ) = -6 + 9 = 3 z = -5 + 6 ( 12 ) = -5 + 3 = -2
Então, o ponto de interseção com o plano xz é (3, 0, -2) .

Resposta

Os pontos de interseção da reta com os planos coordenados são:
  • Plano xy : (9, -4, 0)
  • Plano yz : (0, 2, -3)
  • Plano xz : (3, 0, -2)

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