Suponha que P(E)=1 / 3 e P(E \cup F)=2 / 3. Determine P(F) nos seguintes casos:
(b) (2 pontos) os eventos E e F são mutuamente exclusivos. Neste caso os eventos E e F são independentes?

Passo 1

O enunciado dá P(E)=\tfrac{1}{3} e P(E\cup F)=\tfrac{2}{3} e diz que E e F são mutuamente exclusivos. Vamos usar a fórmula de inclusão–exclusão para união de eventos e depois checar a definição de independência.

Passo 2

A fórmula de inclusão–exclusão é
P(E\cup F)=P(E)+P(F)-P(E\cap F).
Como E e F são mutuamente exclusivos, sabemos que P(E\cap F)=0. Substituindo:
\frac{2}{3}=P(E\cup F)=\frac{1}{3}+P(F)-0
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P(F)=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.

Passo 3

Para serem independentes precisamos ter
P(E\cap F)=P(E)\,P(F).
Aqui P(E\cap F)=0 e P(E)\,P(F)=\tfrac{1}{3}\times\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{9}. Como 0\neq\tfrac{1}{9}, os eventos não são independentes.

Resposta

P(F)=\tfrac{1}{3}.
Não são independentes.

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