(… pontos) (use aproximações com 4 casas decimais) Dada \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}+1} d x. Calcule uma aproximação usando a:
Integral pela Regra do trapézio Repetida com \mathrm{n}=5.

Passo 1

O enunciado dá a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}+1}\,dx
e pede uma aproximação usando a Regra do trapézio repetida (composta) com n=5.
Informações relevantes que temos do enunciado:
a=0,\quad b=1,\quad n=5,\quad f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}.
O objetivo final é calcular a aproximação numérica da integral usando esses dados.

Passo 2

Vou explicar a fórmula que vamos aplicar (a Regra do trapézio composta), passo a passo, de forma bem didática.
Se dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais, a largura de cada subintervalo é
h=\frac{b-a}{n}.
Os pontos (nós) são
x_0=a,\; x_1=a+h,\; x_2=a+2h,\; \dots,\; x_n=b.
A Regra do trapézio composta dá a aproximação
T_n = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right).
Explicando cada termo:
  • h é a largura de cada trapézio;
  • \frac{f(x_0)+f(x_n)}{2} faz com que as extremidades sejam contadas com metade do peso (pois cada extremidade pertence a apenas um trapézio);
  • a soma \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) soma as alturas nos pontos internos (cada uma pertence a dois trapézios, por isso entram com peso 1 aqui).
    Esse é o procedimento que usaremos.

Passo 3

Calcular h e os nós para a=0, b=1, n=5:
h=\frac{1-0}{5}=\frac{1}{5}=0,2.
Os nós são:
x_0=0,\; x_1=0,2,\; x_2=0,4,\; x_3=0,6,\; x_4=0,8,\; x_5=1,0.

Passo 4

Avaliar a função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1} em cada nó. Vou usar aproximações com 4 casas decimais, como você pediu.
\begin{aligned} f(x_0)&=f(0)=\frac{1}{0^{2}+1}=1,0000,\\[4pt] f(x_1)&=f(0,2)=\frac{1}{0,2^{2}+1}=\frac{1}{1,04}\approx 0,9615,\\[4pt] f(x_2)&=f(0,4)=\frac{1}{0,4^{2}+1}=\frac{1}{1,16}\approx 0,8621,\\[4pt] f(x_3)&=f(0,6)=\frac{1}{0,6^{2}+1}=\frac{1}{1,36}\approx 0,7353,\\[4pt] f(x_4)&=f(0,8)=\frac{1}{0,8^{2}+1}=\frac{1}{1,64}\approx 0,6098,\\[4pt] f(x_5)&=f(1,0)=\frac{1}{1^{2}+1}=\frac{1}{2}=0,5000. \end{aligned}
Observação: cada valor foi arredondado para 4 casas decimais conforme solicitado.]

Passo 5

Calcular a soma interior \sum_{i=1}^{4} f(x_i) usando as aproximações com 4 casas decimais:
\sum_{i=1}^{4} f(x_i)=0,9615+0,8621+0,7353+0,6098.
Somando passo a passo:
0,9615+0,8621=1,8236,
1,8236+0,7353=2,5589,
2,5589+0,6098=3,1687.
Portanto
\sum_{i=1}^{4} f(x_i)\approx 3,1687.

Passo 6

Calcular o termo das extremidades:
\frac{f(x_0)+f(x_5)}{2}=\frac{1,0000+0,5000}{2}=\frac{1,5000}{2}=0,7500.
Agora montar o parêntese da fórmula:
\frac{f(x_0)+f(x_5)}{2} + \sum_{i=1}^{4} f(x_i)\approx 0,7500 + 3,1687 = 3,9187.

Passo 7

Multiplicar pelo fator h para obter T_5:
T_5 = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_5)}{2} + \sum_{i=1}^{4} f(x_i)\right)
T_5 \approx 0,2 \times 3,9187 = 0,78374.
Arredondando o resultado final para 4 casas decimais (conforme pedido):
T_5 \approx 0,7837.

Resposta

0,7837

Exercícios relacionados