(7 pontos) Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume da regiào delimitada pelas curvas x=y^{2}+1, x=2, em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo y, a região do plano limitada pelas curvas
x = y^{2} + 1
e
x = 2.
O método das cascas cilíndricas recomenda usar retângulos verticais (variando em x) que ao girarem geram “cascas” de raio x e altura dada pela extensão em y.

Passo 2

Para aplicar cascas, expressamos a região projetada no eixo x. Da equação
x = y^{2} + 1
temos
y^{2} = x - 1 \quad\Longrightarrow\quad y = \pm\sqrt{x-1}.
Como a curva cruza x=2 quando y=\pm1, a região em x vai de
x=1 \quad\text{até}\quad x=2,é
e para cada x a “altura” da casca é
h(x) = \bigl(\sqrt{x-1}\bigr) - \bigl(-\sqrt{x-1}\bigr) = 2\sqrt{x-1}.

Passo 3

A fórmula de volume pelo método das cascas cilíndricas é
V = \int_{x=1}^{2} 2\pi\bigl(\text{raio}\bigr)\times\bigl(\text{altura}\bigr)\,dx.
Aqui o raio é x e a altura é 2\sqrt{x-1}. Logo
V = \int_{1}^{2}2\pi\,x\cdot\bigl(2\sqrt{x-1}\bigr)\,dx =4\pi\int_{1}^{2}x\sqrt{x-1}\,dx.

Passo 4

Para calcular
\int x\sqrt{x-1}\,dx,
fazemos a substituição u = x-1, logo du = dx e x = u+1. Assim
\int x\sqrt{x-1}\,dx = \int (u+1)\sqrt{u}\,du = \int \bigl(u^{3/2}+u^{1/2}\bigr)\,du = \frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{2}{3}u^{3/2} + C.

Passo 5

Voltando a x e avaliando de 1 a 2 ( u=0 a 1), obtemos
\int_{1}^{2}x\sqrt{x-1}\,dx =\Bigl[\frac{2}{5}(x-1)^{5/2}+\frac{2}{3}(x-1)^{3/2}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{2}{5}+\frac{2}{3} =\frac{6+10}{15} =\frac{16}{15}.
Multiplicando por 4\pi, o volume é
V = 4\pi\cdot\frac{16}{15} =\frac{64\pi}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{64\pi}{15}

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