(1,5 pontos) Use a redução Gauss-Jordan para resolver o seguinte sistema:
x1+3 x2+x3+x4 & =3 2 x1-2 x2+x3+2 x4 & =8 3 x1+x2+2 x3-x4 & =-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear por redução Gauss–Jordan, que consiste em escrever a matriz aumentada do sistema e aplicar operações elementares sobre linhas para chegar à forma reduzida por linhas (RREF), identificando pivôs e eliminando coeficientes acima e abaixo deles. As incógnitas são x1,x2,x3,x4 e esperamos obter variáveis básicas (com pivô) e variáveis livres.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema e zeramos os coeficientes de x1 embaixo do pivô da primeira linha, usando as operações L2>=tsL2-2L1 e L3>=tsL3-3L1:
[cccc|c 1 & 3 & 1 & 1 & 3 2 & -2 & 1 & 2 & 8 3 & 1 & 2 & -1 & -1 ] ;oversetsubstackL2-2L1L3-3L1longrightarrow; [cccc|c 1 & 3 & 1 & 1 & 3 0 & -8 & -1 & 0 & 2 0 & -8 & -1 & -4 & -10 ]

Passo 3

Normalizamos o pivô da segunda linha e zeramos o coeficiente de x2 abaixo usando L2>=ts -tfrac18,L2 e depois L3>=tsL3+8L2:
[cccc|c 1 & 3 & 1 & 1 & 3 0 & -8 & -1 & 0 & 2 0 & -8 & -1 & -4 & -10 ] ;oversetL2>=ts -tfrac18,L2longrightarrow; [cccc|c 1 & 3 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & tfrac18 & 0 & -tfrac14 0 & -8 & -1 & -4 & -10 ]
oversetL3>=tsL3+8L2longrightarrow [cccc|c 1 & 3 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & tfrac18 & 0 & -tfrac14 0 & 0 & 0 & -4 & -12 ]

Passo 4

Normalizamos o pivô da terceira linha e zeramos o coeficiente de x4 acima usando L3>=ts -tfrac14,L3 e L1>=tsL1-L3:
[cccc|c 1 & 3 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & tfrac18 & 0 & -tfrac14 0 & 0 & 0 & -4 & -12 ] ;oversetL3>=ts -tfrac14,L3longrightarrow; [cccc|c 1 & 3 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & tfrac18 & 0 & -tfrac14 0 & 0 & 0 & 1 & 3 ]
oversetL1>=tsL1-L3longrightarrow [cccc|c 1 & 3 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & tfrac18 & 0 & -tfrac14 0 & 0 & 0 & 1 & 3 ]

Passo 5

Para chegar à forma totalmente reduzida por linhas, zeramos também o coeficiente de x2 na primeira linha com L1>=tsL1-3L2:
[cccc|c 1 & 3 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & tfrac18 & 0 & -tfrac14 0 & 0 & 0 & 1 & 3 ] ;oversetL1>=tsL1-3L2longrightarrow; [cccc|c 1 & 0 & tfrac58 & 0 & tfrac34 0 & 1 & tfrac18 & 0 & -tfrac14 0 & 0 & 0 & 1 & 3 ]

Passo 6

Na forma reduzida por linhas obtemos o sistema equivalente
x1 + tfrac58,x3 = tfrac34, x2 + tfrac18,x3 = -tfrac14, x4 = 3,
onde x3 não tem pivô e é variável livre. Definindo x3=tinR, resulta
x1 = tfrac34 - tfrac58,t, x2 = -tfrac14 - tfrac18,t, x3 = t, x4 = 3

Resposta

(x1,x2,x3,x4) = l(tfrac34 - tfrac58,t,,-tfrac14 - tfrac18,t,,t,,3r), tinR

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