a Questão: Calcule a integral de superficie \iint_{S} G(x, y, z) d \sigma para G(x, y, z)= y e S é a parte Do cilindro z=4-y^{2} no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados e pelo plano x=3

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
\iint_{S}G(x,y,z)\,d\sigma
para G(x,y,z)=y, onde S é a parte da superfície
z=4-y^2
no primeiro octante x\ge0, y\ge0, z\ge0 e limitada pelo plano x=3.
Como S é dada por z=f(x,y), vamos parametrizar por (x,y) e usar
d\sigma=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dx\,dy.

Passo 2

Escrevendo f(x,y)=4-y^2, calculamos as derivadas parciais:
f_x=0, \qquad f_y=-2y.
Então
d\sigma =\sqrt{1+(f_x)^2+(f_y)^2}\,dx\,dy =\sqrt{1+0+(-2y)^2}\,dx\,dy =\sqrt{1+4y^2}\,dx\,dy.

Passo 3

A integral de superfície fica
\iint_{S}y\,d\sigma =\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{2}y\;\sqrt{1+4y^2}\;dy\;dx.
Note que o limite superior em y vem de z=4-y^2\ge0\implies y\le2.

Passo 4

Como a integral em x é trivial, extraímos um fator 3:
\int_{0}^{3}dx=3,
ficando
3\int_{0}^{2}y\sqrt{1+4y^2}\;dy.
Para calcular a parte em y, use u=1+4y^2, logo du=8y\,dy e y\,dy=\tfrac{du}{8}. Quando y=0, u=1; quando y=2, u=17. Assim,
\int_{0}^{2}y\sqrt{1+4y^2}\;dy =\int_{1}^{17}\sqrt{u}\,\frac{du}{8} =\frac{1}{8}\int_{1}^{17}u^{1/2}\,du.

Passo 5

Ainda em u,
\frac{1}{8}\int_{1}^{17}u^{1/2}\,du =\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{1}^{17} =\frac{1}{12}\bigl(17^{3/2}-1\bigr) =\frac{1}{12}\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr).
Multiplicando pelo fator 3 de antes:
3\cdot\frac{1}{12}\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr) =\frac{17\sqrt{17}-1}{4}.

Resposta

\frac{17\sqrt{17}-1}{4}.

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