Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
(f) W=(x, y, z, t) in R^4 mid x+y=0 e z-t=0

Passo 1

O enunciado diz que V=R^4 e define
W = (x,y,z,t)inR^4 mid x+y=0 e z-t=0
O conteúdo é verificação de subespaço: precisamos checar que W não é vazio, e que é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio encontrando o vetor nulo. Para (x,y,z,t)=(0,0,0,0) temos
0+0=0 e 0-0=0,
logo (0,0,0,0)in W.

Passo 3

Verificamos a soma. Suponha
u=(x1,y1,z1,t1)in W e v=(x2,y2,z2,t2)in W
Pela definição de W temos x1+y1=0, z1-t1=0 e x2+y2=0, z2-t2=0. Então
(u+v)1+(u+v)2 =(x1+x2)+(y1+y2) =(x1+y1)+(x2+y2) =0+0=0
e
(u+v)3-(u+v)4 =(z1+z2)-(t1+t2) =(z1-t1)+(z2-t2) =0+0=0
Logo u+vin W.

Passo 4

Verificamos a multiplicação por escalar. Seja alphainR e u=(x,y,z,t)in W. Então
(alpha u)1+(alpha u)2 =alpha x+alpha y =alpha(x+y) =alphacdot 0 =0
e
(alpha u)3-(alpha u)4 =alpha z-alpha t =alpha(z-t) =alphacdot 0 =0
Portanto alpha uin W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço de R^4.

Resposta

W é subespaço de V.

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