(2.5 pontos) Verifique se os vetores 1, x, x^{2}, x^{3} são LI em P_{4}. Formam uma base para P_{4} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \;1,\;x,\;x^{2},\;x^{3}\; no espaço vetorial \;P_{4}\; e pede duas coisas:
  • Verificar se esses vetores são linearmente independentes (LI).
  • Verificar se eles formam uma base para \;P_{4}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os vetores listados são os polinômios \;1,\;x,\;x^{2},\;x^{3}\;.
  • O espaço \;P_{4}\; é o conjunto dos polinômios com grau menor ou igual a 4 (ou seja, forma geral \;a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}\; com coeficientes em \mathbb{R} ou outro corpo, conforme o contexto).
  • Lembrar: para formar uma base de \;P_{4}\; um conjunto deve ser LI e também gerar (span) todo \;P_{4}.

Passo 2

Definição e ideia do método (aula curtinha e prática).
  • Linearmente independentes: vetores v_{1},\dots,v_{k} são LI se a única solução do sistema
\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}=0
é \alpha_{1}=\cdots=\alpha_{k}=0. No caso de polinômios, a igualdade é a igualdade de polinômios (isto é, idêntica para todo x).
  • Base: um conjunto é base de um espaço vetorial se for LI e gerar todo o espaço (qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base).
    Método prático aqui: assumir uma combinação linear dos polinômios igual ao polinômio zero e mostrar que todos os coeficientes escalares são zero (isso prova LI). Para mostrar que não é base usaremos o argumento do grau/dimensão — ou um contraexemplo concreto.

Passo 3

Provar que 1,x,x^{2},x^{3} são linearmente independentes.
Suponha que existam escalares \;a,b,c,d\; tais que, para todo x,
a + b x + c x^{2} + d x^{3} = 0.
Aqui o lado direito é o polinômio nulo (o polinômio que vale zero para todo x). Uma propriedade básica de polinômios é: se um polinômio é identicamente zero, então todos os seus coeficientes são zero. Aplicando isso ao polinômio acima, os coeficientes dos termos x^{0},x^{1},x^{2},x^{3} devem ser zero, isto é,
a=0,\quad b=0,\quad c=0,\quad d=0.
Portanto a única combinação linear que dá o polinômio zero é a combinação trivial; logo \;1,x,x^{2},x^{3}\; são linearmente independentes.
(Se preferir ver de outro jeitinho: avaliando em pontos e derivando dá o mesmo resultado: x=0 a=0; derivando e avaliando em 0 b=0; segunda derivada em 0 c=0; terceira derivada em 0 d=0. Mesmo fim.)

Passo 4

Interpretação do que acabamos de provar.
  • Conclusão: os quatro polinômios \;1,x,x^{2},x^{3}\; são LI em \;P_{4}\;.
  • Isso significa que eles formam um conjunto LI de tamanho 4.

Passo 5

Verificar se eles formam base de \;P_{4}.
  • Um ponto chave: a dimensão de \;P_{4} é 5 (uma base padrão é \;1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\;, cinco vetores). Em qualquer espaço vetorial, uma base tem exatamente \dim elementos. Como o conjunto dado tem apenas 4 vetores, ele não pode ser uma base de um espaço de dimensão 5.
  • Argumento alternativo e concreto (contraexemplo): o polinômio x^{4}\in P_{4} não pode ser escrito como combinação linear de \;1,x,x^{2},x^{3}\;, porque qualquer combinação desses quatro tem grau no máximo 3 enquanto x^{4} tem grau 4. Logo não geram todo \;P_{4}.
    Portanto, apesar de serem LI, não geram \;P_{4}, logo não formam uma base de \;P_{4}.

Passo 6

Observação útil para a prova (dica de memorização e aplicação rápida).
  • Conjunto padrão \{1,x,\dots,x^{n}\} tem n+1 elementos e é base de P_{n}. Aqui, \{1,x,x^{2},x^{3}\} é precisamente a base padrão de P_{3}, então gera P_{3} e é LI; mas para P_{4} falta exatamente o x^{4}.

Resposta

Sim: 1,x,x^{2},x^{3} são linearmente independentes em P_{4}.
Não: esses vetores não formam uma base para P_{4} (porque \dim(P_{4})=5, ou seja, falta o x^{4} para gerar todo P_{4}).

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