(2.5 pontos) Verifique se os vetores
são LI em
. Formam uma base para
? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
no espaço vetorial
e pede duas coisas:
- Verificar se esses vetores são linearmente independentes (LI).
- Verificar se eles formam uma base para
.
Informações relevantes fornecidas:
- Os vetores listados são os polinômios
. - O espaço
é o conjunto dos polinômios com grau menor ou igual a (ou seja, forma geral com coeficientes em ou outro corpo, conforme o contexto). - Lembrar: para formar uma base de
um conjunto deve ser LI e também gerar (span) todo .
Passo 2
Definição e ideia do método (aula curtinha e prática).
- Linearmente independentes: vetores
são LI se a única solução do sistema
é
. No caso de polinômios, a igualdade é a igualdade de polinômios (isto é, idêntica para todo
).
- Base: um conjunto é base de um espaço vetorial se for LI e gerar todo o espaço (qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base).
Método prático aqui: assumir uma combinação linear dos polinômios igual ao polinômio zero e mostrar que todos os coeficientes escalares são zero (isso prova LI). Para mostrar que não é base usaremos o argumento do grau/dimensão — ou um contraexemplo concreto.
Passo 3
Provar que
são linearmente independentes.
Suponha que existam escalares tais que, para todo
,
Suponha que existam escalares
Aqui o lado direito é o polinômio nulo (o polinômio que vale zero para todo
). Uma propriedade básica de polinômios é: se um polinômio é identicamente zero, então todos os seus coeficientes são zero. Aplicando isso ao polinômio acima, os coeficientes dos termos
devem ser zero, isto é,
Portanto a única combinação linear que dá o polinômio zero é a combinação trivial; logo
são linearmente independentes.
(Se preferir ver de outro jeitinho: avaliando em pontos e derivando dá o mesmo resultado:
dá
; derivando e avaliando em
dá
; segunda derivada em
dá
; terceira derivada em
dá
. Mesmo fim.)
Passo 4
Interpretação do que acabamos de provar.
- Conclusão: os quatro polinômios
são LI em . - Isso significa que eles formam um conjunto LI de tamanho
.
Passo 5
Verificar se eles formam base de
.
- Um ponto chave: a dimensão de
é (uma base padrão é , cinco vetores). Em qualquer espaço vetorial, uma base tem exatamente elementos. Como o conjunto dado tem apenas vetores, ele não pode ser uma base de um espaço de dimensão . - Argumento alternativo e concreto (contraexemplo): o polinômio
não pode ser escrito como combinação linear de , porque qualquer combinação desses quatro tem grau no máximo enquanto tem grau . Logo não geram todo .
Portanto, apesar de serem LI, não geram, logo não formam uma base de .
Passo 6
Observação útil para a prova (dica de memorização e aplicação rápida).
- Conjunto padrão
tem elementos e é base de . Aqui, é precisamente a base padrão de , então gera e é LI; mas para falta exatamente o .
Resposta
Sim:
são linearmente independentes em
.
Não: esses vetores não formam uma base para (porque
, ou seja, falta o
para gerar todo
).
Não: esses vetores não formam uma base para