Um spin interage com um campo magnético externo ao longo do eixo
(\hat{z}), de acordo com o Hamiltoniano e tem estado inicial descrito por
| psi(0)\rangle=C(\alpha|\uparrow\rangle+\beta|\downarrow\rangle)
Faça um gráfico P(t) \times t da probabilidade de medir o spin no estado |\uparrow\rangle num dado instante.

Passo 1

O enunciado descreve um spin 1/2 em um campo magnético fixo ao longo de \hat z, com Hamiltoniano
\hat H = -\gamma B\,\hat S_z
e estado inicial
|\psi(0)\rangle = C\bigl(\alpha|\uparrow\rangle + \beta|\downarrow\rangle\bigr).
Queremos traçar o gráfico de
P(t)=\bigl|\langle\uparrow|\psi(t)\rangle\bigr|^2
em função de t.

Passo 2

Os autoestados de \hat S_z (e portanto de \hat H) satisfazem
\hat H|\uparrow\rangle = E_{\uparrow}|\uparrow\rangle,\qquad \hat H|\downarrow\rangle = E_{\downarrow}|\downarrow\rangle
com
E_{\uparrow} = -\gamma B\frac{\hbar}{2}\equiv \frac{\hbar\omega}{2}, \quad E_{\downarrow} = +\gamma B\frac{\hbar}{2}\equiv -\frac{\hbar\omega}{2},
onde definimos \omega = -\gamma B.

Passo 3

O operador de evolução temporal é
\hat U(t) = e^{-\,\tfrac{i}{\hbar}\hat H\,t}
e, aplicado ao estado inicial, gera
|\psi(t)\rangle = \hat U(t)\,|\psi(0)\rangle = C\Bigl(\alpha e^{-\,\tfrac{i}{\hbar}E_{\uparrow}t}|\uparrow\rangle +\beta e^{-\,\tfrac{i}{\hbar}E_{\downarrow}t}|\downarrow\rangle\Bigr)
ou seja
|\psi(t)\rangle = C\bigl(\alpha e^{-i\omega t/2}|\uparrow\rangle +\beta e^{\,i\omega t/2}|\downarrow\rangle\bigr).

Passo 4

A amplitude para medir |\uparrow\rangle é
\langle\uparrow|\psi(t)\rangle = C\,\alpha\,e^{-i\omega t/2},
logo a probabilidade é
P(t) =\bigl|\langle\uparrow|\psi(t)\rangle\bigr|^2 = |C|^2\,|\alpha|^2.
Como C normaliza |\psi(0)\rangle, temos
|C|^2 = \frac{1}{|\alpha|^2+|\beta|^2} \quad\Longrightarrow\quad P(t)=\frac{|\alpha|^2}{|\alpha|^2+|\beta|^2}\,.

Passo 5

Portanto P(t) não depende de t: é constante e igual a
P(t)=\frac{|\alpha|^2}{|\alpha|^2+|\beta|^2}.
O gráfico P(t)\times t é uma linha horizontal nesse valor.

Resposta

O gráfico de P(t) versus t é uma linha horizontal constante em
P(t)=\frac{|\alpha|^2}{|\alpha|^2+|\beta|^2}.

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