(Pontuação: 4,0) Uma fábrica de componentes mecânicos registrou os tempos (em segundos) necessários para inspecionar defeitos em 10 peças consecutivas:
15
21
20
18
18
19
14
20
20
17
21
16
22
18
16
16
Com base nesses dados:
a. Calcule a média, a mediana e a moda dos tempos de inspeção.
b. Organize os dados em uma tabela de frequência e construa o histograma correspondente.
c. Verifique a presença de outliers utilizando a regra do intervalo interquartil (IQR)
d. Com base no histograma e nas medidas calculadas, avalie se o tempo médio é um bom indicador da centralidade para esses dados. Justifique sua resposta.
e. Compare os limites do IQR com os limites calculados considerando a
. Discorra sobre a importância de ambos os indicadores.
15 | 21 | 20 | 18 |
18 | 19 | 14 | 20 |
20 | 17 | 21 | 16 |
22 | 18 | 16 | 16 |
a. Calcule a média, a mediana e a moda dos tempos de inspeção.
b. Organize os dados em uma tabela de frequência e construa o histograma correspondente.
c. Verifique a presença de outliers utilizando a regra do intervalo interquartil (IQR)
d. Com base no histograma e nas medidas calculadas, avalie se o tempo médio é um bom indicador da centralidade para esses dados. Justifique sua resposta.
e. Compare os limites do IQR com os limites calculados considerando a
Passo 1
A questão pede análise estatística básica de um conjunto de 16 tempos de inspeção: média aritmética, mediana, moda, tabela de frequência com histograma, verificação de outliers por IQR, avaliação da representatividade da média e comparação dos limites IQR versus média ±3σ.
Passo 2
Primeiro vamos ordenar os dados e calcular a média, a mediana e a(s) moda(s).
Os dados originais são:
15, 21, 20, 18,
18, 19, 14, 20,
20, 17, 21, 16,
22, 18, 16, 16.
Ordenando: 14, 15, 16, 16, 16, 17, 18, 18, 18, 19, 20, 20, 20, 21, 21, 22.
Os dados originais são:
15, 21, 20, 18,
18, 19, 14, 20,
20, 17, 21, 16,
22, 18, 16, 16.
Ordenando: 14, 15, 16, 16, 16, 17, 18, 18, 18, 19, 20, 20, 20, 21, 21, 22.
Média aritmética:
Mediana (n par): média do 8º e 9º valores:
Moda: valores que aparecem com maior frequência. Observamos que 16, 18 e 20 ocorrem 3 vezes cada, sendo tric-modal.
Passo 3
Vamos montar a tabela de frequência absoluta e relativa, e esboçar o histograma.
Valor (s) | Freq. abs. | Freq. %
14 | 1 | 6,25%
15 | 1 | 6,25%
16 | 3 | 18,75%
17 | 1 | 6,25%
18 | 3 | 18,75%
19 | 1 | 6,25%
20 | 3 | 18,75%
21 | 2 | 12,5%
22 | 1 | 6,25%
14 | 1 | 6,25%
15 | 1 | 6,25%
16 | 3 | 18,75%
17 | 1 | 6,25%
18 | 3 | 18,75%
19 | 1 | 6,25%
20 | 3 | 18,75%
21 | 2 | 12,5%
22 | 1 | 6,25%
No histograma, cada valor no eixo horizontal e altura proporcional à frequência.
Passo 4
Para verificar outliers pelo intervalo interquartil, calculamos Q1 e Q3.
Dividindo os 16 valores em duas metades de 8:
Primeira metade (até posição 8): 14,15,16,16,16,17,18,18 → Q1 = média dos 4º e 5º = (16+16)/2 = 16
Segunda metade (posições 9–16): 18,19,20,20,20,21,21,22 → Q3 = média dos 4º e 5º desse grupo = (20+20)/2 = 20
Logo IQR = Q3−Q1 = 4.
As fronteiras são:
Dividindo os 16 valores em duas metades de 8:
Primeira metade (até posição 8): 14,15,16,16,16,17,18,18 → Q1 = média dos 4º e 5º = (16+16)/2 = 16
Segunda metade (posições 9–16): 18,19,20,20,20,21,21,22 → Q3 = média dos 4º e 5º desse grupo = (20+20)/2 = 20
Logo IQR = Q3−Q1 = 4.
As fronteiras são:
Nenhum dado está fora de [10,26], logo não há outliers por essa regra.
Passo 5
Para avaliar se a média é um bom indicador de centralidade, note que a mediana = 18 e a média = 18,1875 são muito próximas, e o histograma é aproximadamente simétrico (sem caudas fortes nem picos isolados). Com ausência de outliers, a média descreve bem o centro dos dados.
Passo 6
Agora comparamos com a regra da média ±3σ. Calculamos σ populacional:
Então
Ambos os limites ([11,29; 25,08] e [10; 26]) não excluem nenhum ponto. A regra IQR é não-paramétrica e robusta a formatos de distribuição, enquanto ±3σ assume aproximação normal e pode ser afetada por caudas mais longas.
Resposta
a)
, mediana = 18, moda = 16, 18 e 20 (três modos).
b) Tabela de frequências e histograma conforme construídos acima.
c) Q1 = 16, Q3 = 20, IQR = 4, limites [10,26], sem outliers.
d) A média é um bom indicador pois está muito próxima da mediana e a distribuição é quase simétrica e sem outliers.
e) Limites IQR: [10;26] vs. média±3σ ≈ [11,29;25,08]. A regra IQR é mais robusta a formatos gerais de distribuição; média±3σ pressupõe normalidade e se apoia em momentos da distribuição.
b) Tabela de frequências e histograma conforme construídos acima.
c) Q1 = 16, Q3 = 20, IQR = 4, limites [10,26], sem outliers.
d) A média é um bom indicador pois está muito próxima da mediana e a distribuição é quase simétrica e sem outliers.
e) Limites IQR: [10;26] vs. média±3σ ≈ [11,29;25,08]. A regra IQR é mais robusta a formatos gerais de distribuição; média±3σ pressupõe normalidade e se apoia em momentos da distribuição.