(Pontuação: 6,0) Em um processo químico, os engenheiros registraram os valores de concentração (em mol/L) de um reagente durante 20 experimentos, conforme a tabela abaixo:
Experimento
Concentração (mol/L)
1-5
0,82, 0,76, 0,89, 0,85, 0,91
6-10
0,88, 0,79, 0,92, 0,84, 0,87
11-15
0,80, 0,83, 0,90, 0,77, 0,86
16-20
0,81, 0,78, 0,93, 0,88, 0,88
Além disso, os engenheiros verificaram que uma empresa concorrente apresentou uma média de concentração de
e desvio-padrão de
. Com base nesses dados:
a. Construa a tabela de distribuição de frequência;
b. Construa o histograma;
c. Calcule a média, mediana, quartil 3 e desvio padrão utilizando a tabela de distribuição da letra a);
d. Compare a dispersão do processo químico analisado com os resultados da empresa concorrente e discuta qual processo apresenta maior estabilidade;
Fórmulas
Experimento | Concentração (mol/L) |
1-5 | 0,82, 0,76, 0,89, 0,85, 0,91 |
6-10 | 0,88, 0,79, 0,92, 0,84, 0,87 |
11-15 | 0,80, 0,83, 0,90, 0,77, 0,86 |
16-20 | 0,81, 0,78, 0,93, 0,88, 0,88 |
a. Construa a tabela de distribuição de frequência;
b. Construa o histograma;
c. Calcule a média, mediana, quartil 3 e desvio padrão utilizando a tabela de distribuição da letra a);
d. Compare a dispersão do processo químico analisado com os resultados da empresa concorrente e discuta qual processo apresenta maior estabilidade;
Fórmulas
Passo 1
A questão traz 20 valores de concentração (mol/L) e pede: construir tabela de frequência, histograma, calcular média, mediana, Q₃ e desvio-padrão via essa tabela e comparar dispersão com concorrente (média 0,85 e s=0,06). Vamos usar conceitos de amplitude, número de classes, largura de classe, frequências absolutas e cumulativas, fórmulas de posição (percentis) e desvio-padrão agrupado.
Passo 2
Calcular a amplitude total R, número de classes k e largura h: R = máximo–mínimo = 0,93–0,76 = 0,17; k ≈ √20 ≈ 4,5 → 5 classes; h = R/k = 0,17/5 = 0,034. Definimos então as classes, calculamos fi, frequência relativa e acumulada: Classe [0,760–0,794): fi=4; [0,794–0,828): fi=4; [0,828–0,862): fi=3; [0,862–0,896): fi=5; [0,896–0,930]: fi=4.
Passo 3
Para o histograma, em cada classe no eixo x traçamos uma barra com altura igual a fi: 4, 4, 3, 5 e 4. As barras são contíguas e mostram visualmente onde a concentração está mais concentrada (classe 4, de 0,862 a 0,896, tem maior frequência).
Passo 4
Cálculo das medidas pelo método agrupado: adotamos os pontos médios xi das classes: 0,777; 0,811; 0,845; 0,879; 0,913. Então
– Média:
– Mediana (P₅₀): classe 3 (F< antes=8; fi=3; L=0,828):
– Q₃ (P₇₅): classe 4 (F< antes=11; fi=5; L=0,862):
– Desvio-padrão agrupado:
Passo 5
Comparando com o concorrente (s=0,06), nosso processo tem desvio menor, logo menor dispersão e, portanto, maior estabilidade.
Resposta
Tabela de distribuição de frequência:
Classe | fi | fr (%) | Fac
[0,760 – 0,794) | 4 | 20 | 4
[0,794 – 0,828) | 4 | 20 | 8
[0,828 – 0,862) | 3 | 15 | 11
[0,862 – 0,896) | 5 | 25 | 16
[0,896 – 0,930] | 4 | 20 | 20
Classe | fi | fr (%) | Fac
[0,760 – 0,794) | 4 | 20 | 4
[0,794 – 0,828) | 4 | 20 | 8
[0,828 – 0,862) | 3 | 15 | 11
[0,862 – 0,896) | 5 | 25 | 16
[0,896 – 0,930] | 4 | 20 | 20
Histograma: barras de altura 4, 4, 3, 5 e 4 nas classes acima.
Média ≈ 0,847 mol/L
Mediana ≈ 0,851 mol/L
Q₃ ≈ 0,889 mol/L
Desvio-padrão ≈ 0,050 mol/L
Mediana ≈ 0,851 mol/L
Q₃ ≈ 0,889 mol/L
Desvio-padrão ≈ 0,050 mol/L
Como 0,050 < 0,060 (concorrente), nosso processo tem menor dispersão e, portanto, maior estabilidade.