Uma prova com questões fechadas tem 8 questões independentes. Cada questão apresenta 5 alternativas. Apenas uma das alternativas é a correta. Se um aluno resolve a prova respondendo as questões no chute.
(a) Qual a probabilidade de acertar metade da prova? ( resp: approx 0,04587 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma prova com 8 questões de múltipla escolha, cada uma com 5 alternativas, mas só uma está correta. O aluno está chutando todas as respostas, ou seja, escolhendo as alternativas aleatoriamente. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade dele acertar exatamente metade da prova, ou seja, 4 questões. Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade binomial, que ajuda a calcular a chance de um certo número de sucessos em uma sequência de tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “independente”. Aqui, cada chute que o aluno faz não afeta os outros; ou seja, acertar ou errar uma questão não muda as probabilidades das próximas. Como ele está chutando, a chance de acertar uma pergunta é de 1 em 5, ou seja, 0,2 (20%), e a chance de errar é de 4 em 5, ou seja, 0,8 (80%).

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula da probabilidade binomial. A fórmula é:
P(k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • $ P(k) $ é a probabilidade de acertar exatamente $ k $ questões.
  • $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados de $ k $ em $ k $.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
  • $ n $ é o número total de tentativas.
  • $ k $ é o número de sucessos desejados.

Passo 4

Vamos identificar os valores para a nossa situação:
  • $ n = 8 $ (total de questões)
  • $ k = 4 $ (queremos acertar 4 questões)
  • $ p = 0,2 $ (probabilidade de acertar uma questão)

Passo 5

Primeiro, vamos calcular o número de combinações $ \binom{8}{4} $:
binom84
Isso significa que há 70 maneiras diferentes de acertar exatamente 4 das 8 questões.

Passo 6

Agora, vamos calcular $ p^k \times (1-p)^{n-k} $:
p^k times (1-p)^n-k

Passo 7

Finalmente, multiplicamos o número de combinações pela probabilidade:
P(4) = 70 times 0,00065536 approx 0,0458752

Resposta

A probabilidade de o aluno acertar exatamente metade da prova é aproximadamente 0,04587.

Exercícios relacionados