A população de aguapés num lago represado cobre uma região circular. Sabe-se que a taxa instantânea de crescimento, em relação ao tempo, do raio da região é constante e igual a 800 metros por ano. Sendo assim, a taxa instantânea de crescimento, em relação ao tempo, da superfície coberta por aguapés, quando o raio for igual a 4000 m , é
(a) 64 pi km^2
(b) 640 pi km^2
© 6,4 pi km^2
(d) 0,64 pi km^2

Passo 1

A questão é de taxas relacionadas (derivadas) e pede a taxa de crescimento da área de um círculo cuja taxa de crescimento do raio é constante. Sabemos que o raio cresce a 800 m/ano e queremos dA/dt quando r = 4000 m. Para isso, vamos usar a fórmula da área e sua derivada em relação ao tempo.

Passo 2

Definimos a área do círculo como A = π r². Como r depende de t, usamos derivação implícita para relacionar dA/dt a dr/dt.

Passo 3

Derivando em relação ao tempo t: dA/dt = d(π r²)/dt = 2π r·dr/dt. Aqui aplicamos a regra da cadeia: derivada de r² é 2r e multiplicamos por dr/dt.

Passo 4

Substituímos r = 4000 m e dr/dt = 800 m/ano em dA/dt = 2π r·dr/dt:
dA/dt = 2pi cdot 4000 m times 800 m/ano = 6,400,000pi m^2/ano

Passo 5

Para mostrar o resultado em km²/ano, lembramos que 1 km² = 10^6 m². Assim:
6,400,000pi m^2/ano = 6,4pi km^2/ano

Resposta

6{,}4\pi\ \mathrm{km}^2/\mathrm{ano}

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