Uma população de bactérias cresce ao ritmo de 10 bactérias por hora quando há 100 bactérias. Quantas bactérias haverá depois de 3 horas? Em quanto tempo se duplicará a população?

Passo 1

O enunciado diz que a população de bactérias cresce segundo um modelo exponencial da forma
\frac{dN}{dt}=k\,N
e informa que, quando N=100, tem-se \frac{dN}{dt}=10. Precisamos:
  1. encontrar a constante de crescimento k;
  2. determinar N(3);
  3. achar o tempo de duplicação da população.

Passo 2

Usamos a condição \bigl(N=100,\;dN/dt=10\bigr) no modelo \frac{dN}{dt}=kN. Logo,
k = \frac{1}{N}\,\frac{dN}{dt} = \frac{10}{100} = 0,1\\ \text{h}^{-1}.

Passo 3

A solução geral da equação \frac{dN}{dt}=0,1\,N com N(0)=100 é
N(t) = 100\,e^{0,1\,t}.

Passo 4

Para t=3 horas,
N(3) = 100\,e^{0,1\cdot3} = 100\,e^{0,3} \approx 100 \times 1,34986 \approx 135.

Passo 5

Para o tempo de duplicação T, impomos N(T)=200:
100\,e^{0,1\,T} = 200
e^{0,1\,T} = 2
0,1\,T = \ln 2
T = \frac{\ln 2}{0,1} = 10\,\ln 2 \approx 6,93\\ \text{horas}.

Resposta

Após 3 horas haverá aproximadamente 135 bactérias.
O tempo de duplicação é de aproximadamente 6,93 horas.

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