1^{\underline{a}} Questão: (1,0 ponto)
a) Calcule \oint_{C} F . d r, onde F(x, y)=\left(e^{x}-3 y, e^{y}-6 x\right) e C é dado por x^{2}+4 y^{2}=1, sabendo C está orientada positivamente.
R: \frac{-3 \pi}{2}.
b) Mostre que a área de uma região fechada e limitada D do plano x y pode ser obtida através da seguinte integral de linha:
\operatorname{Área}(D)=\oint_{C} x d y
c) Utilizando o item b), mostre que a área de uma circunferência de raio a é dada por \pi a^{2}.

Passo 1

O enunciado tem três partes:
(a) calcular \displaystyle\oint_C F\cdot dr com F(x,y)=(e^x-3y,\;e^y-6x) e C\colon x^2+4y^2=1 orientada positivamente;
(b) mostrar que, para uma região D fechada limitada por C,
\operatorname{Área}(D)=\oint_C x\,dy;Á
(c) usar esse resultado para encontrar a área de um círculo de raio a.
Vamos usar o Teorema de Green e parametrizações de curvas.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Green em \oint_C F\cdot dr com P=e^x-3y e Q=e^y-6x, dá
\oint_C F\cdot dr =\iint_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Calculando as derivadas,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(e^y-6x)=-6, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(e^x-3y)=-3,
logo
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=-6-(-3)=-3.
Assim
\oint_C F\cdot dr =-3\iint_DdA =-3\,\operatorname{Área}(D).Á
Como D é a elipse x^2+4y^2\le1, os semieixos valem 1 e 1/2, então
\operatorname{Área}(D)=\pi\cdot1\cdot\frac12=\frac{\pi}{2},Á
portanto
\oint_C F\cdot dr =-3\cdot\frac{\pi}{2} =-\frac{3\pi}{2}.

Passo 3

Para mostrar \operatorname{Área}(D)=\oint_C x\,dyÁ, considere a integral de linha
\displaystyle\oint_C P\,dx+Q\,dy com P=0 e Q=x. Pelo Teorema de Green,
\oint_C x\,dy =\iint_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA =\iint_D(1-0)\,dA =\operatorname{Área}(D).Á

Passo 4

No caso de C ser a circunferência de raio a, parametrizamos
(x,y)=(a\cos t,\;a\sin t),\quad t\in[0,2\pi].
Então
dy=\frac{d}{dt}(a\sin t)\,dt =a\cos t\,dt
e
\oint_C x\,dy =\int_0^{2\pi}(a\cos t)\,(a\cos t\,dt) =a^2\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt =a^2\cdot\pi =\pi a^2,
pois \displaystyle\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi.

Resposta

(a) -\displaystyle\frac{3\pi}{2}.
(b) \displaystyle\operatorname{Área}(D)=\oint_{C}x\,dyÁ.
(c) \displaystyle\pi a^{2}.

Exercícios relacionados