Questão: (1,0 ponto)
a) Calcule
, onde
e
é dado por
, sabendo
está orientada positivamente.
R:
.
b) Mostre que a área de uma região fechada e limitada
do plano
pode ser obtida através da seguinte integral de linha:
c) Utilizando o item b), mostre que a área de uma circunferência de raio
é dada por
.
a) Calcule
R:
b) Mostre que a área de uma região fechada e limitada
Passo 1
O enunciado tem três partes:
(a) calcular com
e
orientada positivamente;
(b) mostrar que, para uma região fechada limitada por
,
(a) calcular
(b) mostrar que, para uma região
(c) usar esse resultado para encontrar a área de um círculo de raio
.
Vamos usar o Teorema de Green e parametrizações de curvas.
Vamos usar o Teorema de Green e parametrizações de curvas.
Passo 2
Aplicando o Teorema de Green em
com
e
, dá
Calculando as derivadas,
logo
Assim
Como
é a elipse
, os semieixos valem
e
, então
portanto
Passo 3
Para mostrar
, considere a integral de linha
com
e
. Pelo Teorema de Green,
Passo 4
No caso de
ser a circunferência de raio
, parametrizamos
Então
e
pois
.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)