Questão 1 [ 1,0 ponto] Responda os itens a seguir.
(a) Fordem de integração interfere no resultado da integral dupla? Justifique.
(b) Quando é conveniente realizar a mudança na ordem de integração?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre integrais duplas e a ordem de integração. Para o item (a) precisamos entender o Teorema de Fubini, que garante igualdade entre as formas de iteração de uma integral dupla sob certas condições. No item (b) vamos discutir critérios práticos para trocar essa ordem e simplificar os cálculos.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, se f(x,y) for contínua (ou, mais geralmente, absolutamente integrável) num domínio D\subset\mathbb{R}^2, então as integrais iteradas existem e são iguais entre si e à integral dupla sobre D. Em notação:
\iint_{D}f(x,y)\,dx\,dy = \int_{x=a}^{b}\biggl[\int_{y=c(x)}^{d(x)}f(x,y)\,dy\biggr]dx = \int_{y=c'}^{d'}\biggl[\int_{x=a(y)}^{b(y)}f(x,y)\,dx\biggr]dy.
Isso mostra que, desde que f e D satisfaçam as hipóteses do teorema, mudar a ordem de integração não altera o valor final da integral dupla.

Passo 3

Convém trocar a ordem de integração sempre que uma das iterações se torne muito complicada de calcular diretamente. Alguns casos típicos:
– Quando os limites de integração numa das ordens dependem de forma complexa da outra variável, e na ordem inversa esses limites ficam constantes ou mais simples.
– Quando a antiderivada de f em relação a x é intratável, mas em relação a y é fácil (ou vice-versa).
– Quando visualizar o domínio D em outro sentido (horizontal em vez de vertical, ou o oposto) permite descrever D com menos “ramificações” nos limites.

Resposta

(a) O valor da integral dupla não muda ao trocar a ordem de integração, desde que f seja contínua (ou absolutamente integrável) em D; isso é garantido pelo Teorema de Fubini.
(b) É conveniente mudar a ordem quando isso simplifica os limites (por torná-los constantes ou de forma mais simples) ou quando torna mais fácil encontrar a antiderivada do integrando.

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