Questão 1 [ 1,0 ponto] Responda os itens a seguir.
(a) Fordem de integração interfere no resultado da integral dupla? Justifique.
(b) Quando é conveniente realizar a mudança na ordem de integração?
(a) Fordem de integração interfere no resultado da integral dupla? Justifique.
(b) Quando é conveniente realizar a mudança na ordem de integração?
Passo 1
O enunciado pergunta sobre integrais duplas e a ordem de integração. Para o item (a) precisamos entender o Teorema de Fubini, que garante igualdade entre as formas de iteração de uma integral dupla sob certas condições. No item (b) vamos discutir critérios práticos para trocar essa ordem e simplificar os cálculos.
Passo 2
Pelo Teorema de Fubini, se
for contínua (ou, mais geralmente, absolutamente integrável) num domínio
, então as integrais iteradas existem e são iguais entre si e à integral dupla sobre
. Em notação:
Isso mostra que, desde que
e
satisfaçam as hipóteses do teorema, mudar a ordem de integração não altera o valor final da integral dupla.
Passo 3
Convém trocar a ordem de integração sempre que uma das iterações se torne muito complicada de calcular diretamente. Alguns casos típicos:
– Quando os limites de integração numa das ordens dependem de forma complexa da outra variável, e na ordem inversa esses limites ficam constantes ou mais simples.
– Quando a antiderivada de em relação a
é intratável, mas em relação a
é fácil (ou vice-versa).
– Quando visualizar o domínio em outro sentido (horizontal em vez de vertical, ou o oposto) permite descrever
com menos “ramificações” nos limites.
– Quando os limites de integração numa das ordens dependem de forma complexa da outra variável, e na ordem inversa esses limites ficam constantes ou mais simples.
– Quando a antiderivada de
– Quando visualizar o domínio
Resposta
(a) O valor da integral dupla não muda ao trocar a ordem de integração, desde que
seja contínua (ou absolutamente integrável) em
; isso é garantido pelo Teorema de Fubini.
(b) É conveniente mudar a ordem quando isso simplifica os limites (por torná-los constantes ou de forma mais simples) ou quando torna mais fácil encontrar a antiderivada do integrando.
(b) É conveniente mudar a ordem quando isso simplifica os limites (por torná-los constantes ou de forma mais simples) ou quando torna mais fácil encontrar a antiderivada do integrando.