A população de uma determinada colonia de baterias é de 1000 . Se o número de baterias se duplicar após de 1 hora, calcule:
(a) O valor da constante de proporcionalidade entre a taxa de variação e a quantidade atual de baterias.
(b) A população de baterias após 90 minutos.
(c) Em quanto tempo a população de baterias será de 4000 ?

Passo 1

O enunciado dá a população inicial de uma colônia de baterias N_0=1000 e informa que ela se duplica em 1 hora. O conteúdo é modelo de crescimento exponencial, que usa a equação diferencial
\frac{dN}{dt}=kN,
cuja solução geral é
N(t)=N_0e^{kt}.
Precisamos achar:
a) a constante k,
b) N(1{,}5\;\text{h}) (90 min),
c) o tempo t para N(t)=4000.

Passo 2

Para achar k, usamos o fato de que em 1 hora a população dobra, ou seja,
N(1)=N_0e^{k\cdot1}=2N_0.
Dividindo por N_0 vem
e^k = 2
e, aplicando logaritmo natural,
k = \ln(2).

Passo 3

Para a população em 90 min ( 1{,}5 h), substituímos t=1{,}5 em N(t)=1000e^{kt}:
N(1{,}5)=1000\,e^{\ln(2)\cdot1{,}5} =1000\;2^{1{,}5} =1000\;2\sqrt{2} =2000\sqrt{2} \approx 2828{,}4.

Passo 4

Para achar o tempo em que N(t)=4000, montamos
4000 = 1000\,e^{\ln(2)\,t}
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e^{\ln(2)\,t}=4
e
\ln(2)\,t = \ln(4) = 2\ln(2) \quad\Longrightarrow\quad t = 2\;\text{horas}.

Resposta

(a) \displaystyle k = \ln(2) por hora.
(b) \displaystyle N(1{,}5\,\text{h}) = 2000\sqrt{2}\approx 2828{,}4 baterias.
(c) \displaystyle t = 2 horas.

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