Uma população de bactérias está crescendo segundo a função p(t)=\frac{10^{5} e^{0,1 t}}{e^{0,1 t}+199}, onde té o tempoem diase p(t) éo número de indivíduo no tempo t. Os pesquisadores estão preocupados com o crescimento dessa população e fizeram as seguintes análises. Qual das afirmações abaixo está correta?
a) Quando t=0 o número de indivíduos da população era igual a 199.
b) Quando o tempo vai aumentando, tendendo ao infinito, o número de indivíduos vai ao infinito.
c) Quando o tempo vai aumentando, tendendo ao infinito, o número de indivíduos vai decrescendo e tende a zero.
d) Quando o tempo vai aumentando, tendendo ao infinito, o número de indivíduos tende para 100.000.

Passo 1

O enunciado dá a função de crescimento
p(t)=\frac{10^{5}e^{0,1t}}{e^{0,1t}+199}
onde t está em dias e p(t) é o número de bactérias no tempo t. Vamos (1) calcular p(0) para verificar a opção (a) e (2) analisar o limite de p(t) quando t\to\infty para decidir entre as opções (b), (c) e (d).

Passo 2

Para t=0 temos
p(0)=\frac{10^{5}e^{0,1\cdot0}}{e^{0,1\cdot0}+199} =\frac{10^{5}\cdot1}{1+199} =\frac{10^{5}}{200} =500.
Portanto a afirmação (a) está errada.

Passo 3

Para t\to\infty, note que e^{0,1t}\to\infty. Escrevendo
p(t) =\frac{10^{5}e^{0,1t}}{e^{0,1t}+199} =\frac{10^{5}}{1+199\,e^{-0,1t}},
vemos que 199\,e^{-0,1t}\to0. Logo
\lim_{t\to\infty}p(t)=10^{5}=100000.
Isso mostra que não vai ao infinito nem decresce a zero, mas tende a 100000.

Resposta

d) Quando o tempo vai aumentando, tendendo ao infinito, o número de indivíduos tende para 100000.

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