Suponha que um automóvel sofre depreciação continuamente numa taxa que é proporcional ao seu valor num instante t. Este automóvel novo custa R \ 35.000,00 reais. Após um ano de uso o seu valor éóéR $30.000,00 reais. Qual será o valor do automóvel após 2 anos de uso? Resp.:áóóV(t) : valor do automóvel;óV(t)=35.000 e^{-0,16 t} e após 2 anosóR $ 25.415,21$

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que já foi dado):\n
  • O problema diz que o valor do automóvel sofre depreciação continuamente à taxa proporcional ao seu valor num instante t.\n
  • Valor inicial (novo): V(0)= R$ 35.000{,}00.\n
  • Valor após 1 ano: V(1)= R$ 30.000{,}00.\n
  • Pergunta principal: qual será o valor do automóvel após 2 anos de uso? (também vamos obter a função V(t) que descreve o valor em função do tempo).\n

Passo 2

Modelo matemático (montando a equação diferencial):\n
Quando a variação de uma grandeza é proporcional ao próprio valor, o modelo é a equação diferencial
\frac{dV}{dt}=kV,
onde V=V(t) é o valor do automóvel no tempo t (anos) e k é a constante de proporcionalidade (taxa anual). Como o carro deprecia, k será negativo. Vou explicar: \frac{dV}{dt} é a velocidade de variação do valor; dizer que ela é proporcional a V significa que existe um número k tal que a equação acima vale para todo t.

Passo 3

Solução geral da equação diferencial (separação de variáveis):\n
Separe variáveis e integre:
\frac{dV}{V}=k\,dt.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{dV}{V}=\int k\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln|V|=kt+C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
V(t)=Ce^{kt},
aqui C é uma constante positiva (porque V>0), que será determinada pela condição inicial.

Passo 4

Determinar a constante usando V(0)=35000:\n
Substituindo t=0 na expressão geral,
V(0)=Ce^{k\cdot 0}=C=35000.
Logo a solução com a condição inicial é
V(t)=35000\,e^{kt}.

Passo 5

Determinar a constante k usando V(1)=30000:\n
Substituindo t=1:
30000=35000\,e^{k}.
Isolando e^{k}:
e^{k}=\frac{30000}{35000}=\frac{6}{7}.
Tomando logaritmo natural:
k=\ln\!\left(\frac{6}{7}\right).
Cálculo aproximado:
k\approx \ln(0{,}857142857)\approx -0{,}1541506798\approx -0{,}15415,
ou seja, a taxa é cerca de -15{,}415\% ao ano. Observação prática: se alguém arredondar k para -0{,}16 isso dá um modelo aproximado V(t)\approx35000\,e^{-0{,}16t}, mas esse k arredondado introduz erro nos valores previstos.

Passo 6

Escrever a função V(t) final (formas equivalentes):\n
Usando k=\ln(6/7) obtemos
V(t)=35000\,e^{\ln(6/7)\,t}=35000\left(\frac{6}{7}\right)^{t}.
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é prática quando os dados levam a uma razão simples \frac{6}{7}.

Passo 7

Calcular V(2) (valor após 2 anos) de forma exata e numérica:\n
Usando a forma \left(\dfrac{6}{7}\right)^{t},
V(2)=35000\left(\frac{6}{7}\right)^{2}=35000\cdot\frac{36}{49}.
Simplificando:
35000\cdot\frac{36}{49}=\frac{35000\cdot36}{49}=\frac{180000}{7}.
Em forma decimal:
\frac{180000}{7}\approx 25714{,}285714\ldots
Arredondando para centavos (como convém em reais):
V(2)\approx R\$\,25.714{,}29.
Comentário sobre a diferença com a resposta que aparece frequentemente: se em vez de usar o k exato você usar o arredondamento k=-0{,}16, então
V(2)\approx 35000\,e^{-0{,}32}\approx R\$\,25.415{,}21,
que é o valor citado no enunciado, porém esse último é apenas uma aproximação resultante do arredondamento de k.

Resposta

V(t)=35000\left(\dfrac{6}{7}\right)^{t}=35000\,e^{\ln(6/7)\,t}\n
V(2)=\dfrac{180000}{7}\approx R\$\,25.714{,}29

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