Suponha que um automóvel sofre depreciação continuamente numa taxa que é proporcional ao seu valor num instante
. Este automóvel novo custa
35.000,00
R $30.000,00
V(t)
V(t)=35.000 e^{-0,16 t}
R $ 25.415,21$
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que já foi dado):\n
- O problema diz que o valor do automóvel sofre depreciação continuamente à taxa proporcional ao seu valor num instante
.\n - Valor inicial (novo):
R$ .\n - Valor após 1 ano:
R$ .\n - Pergunta principal: qual será o valor do automóvel após 2 anos de uso? (também vamos obter a função
que descreve o valor em função do tempo).\n
Passo 2
Modelo matemático (montando a equação diferencial):\n
Quando a variação de uma grandeza é proporcional ao próprio valor, o modelo é a equação diferencial
Quando a variação de uma grandeza é proporcional ao próprio valor, o modelo é a equação diferencial
onde
é o valor do automóvel no tempo
(anos) e
é a constante de proporcionalidade (taxa anual). Como o carro deprecia,
será negativo. Vou explicar:
é a velocidade de variação do valor; dizer que ela é proporcional a
significa que existe um número
tal que a equação acima vale para todo
.
Passo 3
Solução geral da equação diferencial (separação de variáveis):\n
Separe variáveis e integre:
Separe variáveis e integre:
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando,
aqui
é uma constante positiva (porque
), que será determinada pela condição inicial.
Passo 4
Determinar a constante usando
:\n
Substituindo na expressão geral,
Substituindo
Logo a solução com a condição inicial é
Passo 5
Determinar a constante
usando
:\n
Substituindo :
Substituindo
Isolando
:
Tomando logaritmo natural:
Cálculo aproximado:
ou seja, a taxa é cerca de
ao ano. Observação prática: se alguém arredondar
para
isso dá um modelo aproximado
, mas esse
arredondado introduz erro nos valores previstos.
Passo 6
Escrever a função
final (formas equivalentes):\n
Usando obtemos
Usando
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é prática quando os dados levam a uma razão simples
.
Passo 7
Calcular
(valor após 2 anos) de forma exata e numérica:\n
Usando a forma ,
Usando a forma
Simplificando:
Em forma decimal:
Arredondando para centavos (como convém em reais):
Comentário sobre a diferença com a resposta que aparece frequentemente: se em vez de usar o
exato você usar o arredondamento
, então
que é o valor citado no enunciado, porém esse último é apenas uma aproximação resultante do arredondamento de
.