A população de uma certa cidade tem um crescimento que é descrito pela função P=3,1e0,05t onde P é a população em milhões de habitantes, e=2,72 e t é o tempo contado em anos. Qual é a estimativa para o tamanho da população daqui a 4 anos?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma função que descreve o crescimento da população de uma cidade: $ P = 3,1e^{0,05t} $. Aqui, $ P $ é a população em milhões de habitantes, $ e $ é um número especial que vale aproximadamente 2,72, e $ t $ é o tempo em anos. Nosso objetivo é descobrir qual será a população daqui a 4 anos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que temos. Essa é uma função exponencial, que é usada para modelar crescimentos que aumentam cada vez mais rápido, como a população. A parte $ e^{0,05t} $ mostra como a população cresce ao longo do tempo.
Passo 3
Agora, vamos substituir o valor de $ t $ por 4 anos na fórmula. Isso fica assim:
Passo 4
Vamos calcular o expoente primeiro. Multiplicando 0,05 por 4:
Então, a fórmula fica:
Passo 5
Agora, precisamos calcular $ e^{0,2} $. Sabemos que $ e $ é aproximadamente 2,72. Então:
Passo 6
Por fim, multiplicamos esse resultado por 3,1 para encontrar $ P $:
Resposta
A estimativa para o tamanho da população daqui a 4 anos é de aproximadamente 3,79 milhões de habitantes.