A população de uma certa cidade tem um crescimento que é descrito pela função P=3,1e0,05t onde P é a população em milhões de habitantes, e=2,72 e t é o tempo contado em anos. Qual é a estimativa para o tamanho da população daqui a 4 anos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma função que descreve o crescimento da população de uma cidade: $ P = 3,1e^{0,05t} $. Aqui, $ P $ é a população em milhões de habitantes, $ e $ é um número especial que vale aproximadamente 2,72, e $ t $ é o tempo em anos. Nosso objetivo é descobrir qual será a população daqui a 4 anos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que temos. Essa é uma função exponencial, que é usada para modelar crescimentos que aumentam cada vez mais rápido, como a população. A parte $ e^{0,05t} $ mostra como a população cresce ao longo do tempo.

Passo 3

Agora, vamos substituir o valor de $ t $ por 4 anos na fórmula. Isso fica assim:
t

Passo 4

Vamos calcular o expoente primeiro. Multiplicando 0,05 por 4:
0,05 times 4 = 0,2
Então, a fórmula fica:
P = 3,1e^0,2

Passo 5

Agora, precisamos calcular $ e^{0,2} $. Sabemos que $ e $ é aproximadamente 2,72. Então:
e^0,2

Passo 6

Por fim, multiplicamos esse resultado por 3,1 para encontrar $ P $:
P

Resposta

A estimativa para o tamanho da população daqui a 4 anos é de aproximadamente 3,79 milhões de habitantes.

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