Use a Regra da cadeia para calcular dw/ds quando w = 3x² + xz + zt² + y², onde x = 2s; y = 3s + 1; z = 2r + s e t = 3r².
A 9r⁴ + 46s + 4r + 6
B 5r⁴ + 40s + 2r + 3
C 4r⁴ + 23s + 2r + 5
D 9r⁴ + 40s + 3r + 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar a Regra da Cadeia para calcular dwds, onde w é uma função de x, z, t e y, e cada uma dessas variáveis também depende de s e r. Então, nosso objetivo é achar como w muda quando s muda, considerando todas essas dependências. Vamos precisar usar a derivação em várias etapas e entender como essas variáveis estão conectadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função w e as relações dadas:
w = 3x^2 + xz + zt^2 + y^2
E as relações:
x = 2s y = 3s + 1 z = 2r + s t = 3r^2
Nosso objetivo é encontrar dwds.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de w em relação a s é a soma das derivadas parciais de w em relação a cada variável multiplicadas pela derivada dessa variável em relação a s:
dwds = partial wpartial x cdot dxds + partial wpartial z cdot dzds + partial wpartial t cdot dtds + partial wpartial y cdot dyds

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. partial wpartial x:
partial wpartial x = 6x + z
  1. partial wpartial z:
partial wpartial z = x + t^2
  1. partial wpartial t:
partial wpartial t = 2zt
  1. partial wpartial y:
partial wpartial y = 2y

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas das variáveis em relação a s:
  1. dxds:
dxds = 2
  1. dzds:
dzds = 1
  1. dtds:
dtds = 0 (porque t = 3r^2 , que não depende de s) ã
  1. dyds:
dyds = 3

Passo 6

Agora, substituímos todas essas derivadas na equação da Regra da Cadeia:
dwds = (6x + z) cdot 2 + (x + t^2) cdot 1 + (2zt) cdot 0 + (2y) cdot 3
Simplificando:
dwds = 2(6x + z) + (x + t^2) + 0 + 6y

Passo 7

Agora, substituímos as expressões de x, y, z e t em termos de s e r:
x = 2s y = 3s + 1 z = 2r + s t = 3r^2
Substituindo na expressão:
dwds = 2[6(2s) + (2r + s)] + [2s + (3r^2)^2] + 6(3s + 1)

Passo 8

Vamos simplificar passo a passo:
  1. Simplificando dentro dos colchetes:
6(2s) = 12s 12s + 2r + s = 13s + 2r
  1. Calculando t^2:
(3r^2)^2 = 9r^4
  1. Substituindo novamente:
dwds = 2(13s + 2r) + (2s + 9r^4) + 6(3s + 1)

Passo 9

Agora, distribuímos os números:
2(13s + 2r) = 26s + 4r 6(3s + 1) = 18s + 6
Substituindo:
dwds = 26s + 4r + 2s + 9r^4 + 18s + 6

Passo 10

Agora, somamos os termos semelhantes:
  • Termos com r^4: 9r^4
  • Termos com s: 26s + 2s + 18s = 46s
  • Termos com r: 4r
  • Termo constante: 6
Então, temos:
dwds = 9r^4 + 46s + 4r + 6

Resposta

A derivada dwds é igual a 9r^4 + 46s + 4r + 6. Resposta A.

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