Use a Regra da cadeia para calcular dw/ds quando w = 3x² + xz + zt² + y², onde x = 2s; y = 3s + 1; z = 2r + s e t = 3r².
A 9r⁴ + 46s + 4r + 6
B 5r⁴ + 40s + 2r + 3
C 4r⁴ + 23s + 2r + 5
D 9r⁴ + 40s + 3r + 5
A 9r⁴ + 46s + 4r + 6
B 5r⁴ + 40s + 2r + 3
C 4r⁴ + 23s + 2r + 5
D 9r⁴ + 40s + 3r + 5
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar a Regra da Cadeia para calcular
, onde
é uma função de
,
,
e
, e cada uma dessas variáveis também depende de
e
. Então, nosso objetivo é achar como
muda quando
muda, considerando todas essas dependências. Vamos precisar usar a derivação em várias etapas e entender como essas variáveis estão conectadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
e as relações dadas:
E as relações:
Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de
em relação a
é a soma das derivadas parciais de
em relação a cada variável multiplicadas pela derivada dessa variável em relação a
:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas das variáveis em relação a
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 6
Agora, substituímos todas essas derivadas na equação da Regra da Cadeia:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos as expressões de
,
,
e
em termos de
e
:
Substituindo na expressão:
Passo 8
Vamos simplificar passo a passo:
- Simplificando dentro dos colchetes:
- Calculando
:
- Substituindo novamente:
Passo 9
Agora, distribuímos os números:
Substituindo:
Passo 10
Agora, somamos os termos semelhantes:
- Termos com
: - Termos com
: - Termos com
: - Termo constante:
Então, temos:
Resposta
A derivada
é igual a
. Resposta A.