Questão 5: (1.5 pontos) Considere uma função
.
a) Defina o que significa dizer que a função
é lipschitziana.
b) Dê um exemplo de uma função lipschitziana, justificando.
c) Prove que toda função lipschitziana é uniformemente contínua.
a) Defina o que significa dizer que a função
b) Dê um exemplo de uma função lipschitziana, justificando.
c) Prove que toda função lipschitziana é uniformemente contínua.
Passo 1
O enunciado nos pede (a) definir o que significa uma função
ser lipschitziana, (b) dar um exemplo concreto de função lipschitziana com sua justificativa e (c) provar que toda função lipschitziana é uniformemente contínua. O tema é continuidade uniforme e a condição de Lipschitz em Análise Real.
Passo 2
Para dizer que
é lipschitziana em
significa que existe uma constante
tal que para quaisquer
valha
Essa desigualdade garante um controle linear da variação de
em função da variação de
.
Passo 3
Um exemplo clássico é toda função afim definida em
, digamos
De fato, para quaisquer
,
Basta escolher
para ver que
, mostrando que
é lipschitziana.
Passo 4
Agora provamos que condição de Lipschitz implica continuidade uniforme. Suponha que
para todo
. Dado
, escolha
Então, sempre que
(independente de onde
e
estejam em
), temos
Isso mostra exatamente a definição de continuidade uniforme: existe
que depende só de
, não de pontos específicos.
Resposta
(a) Dizemos que
é lipschitziana em
se existir
tal que para todos
valha
(b) Um exemplo é
em
. Como
basta tomar
.
(c) Se , dado
definimos
. Então
implica
, provando a continuidade uniforme.
(c) Se