Questão 5: (1.5 pontos) Considere uma função f: X \rightarrow \mathbb{R}, \operatorname{com} X \subset \mathbb{R}.
a) Defina o que significa dizer que a função f é lipschitziana.
b) Dê um exemplo de uma função lipschitziana, justificando.
c) Prove que toda função lipschitziana é uniformemente contínua.

Passo 1

O enunciado nos pede (a) definir o que significa uma função f\colon X\to\mathbb{R} ser lipschitziana, (b) dar um exemplo concreto de função lipschitziana com sua justificativa e (c) provar que toda função lipschitziana é uniformemente contínua. O tema é continuidade uniforme e a condição de Lipschitz em Análise Real.

Passo 2

Para dizer que f é lipschitziana em X significa que existe uma constante K>0 tal que para quaisquer x,y\in X valha
|f(x)-f(y)| \le K\,|x-y|.
Essa desigualdade garante um controle linear da variação de f em função da variação de x.

Passo 3

Um exemplo clássico é toda função afim definida em \mathbb{R}, digamos
f(x)=a\,x+b,\quad a,b\in\mathbb{R}.
De fato, para quaisquer x,y\in\mathbb{R},
|f(x)-f(y)| = |a\,x+b - (a\,y+b)| = |a|\,|x-y|.
Basta escolher K = |a| para ver que |f(x)-f(y)|\le K|x-y|, mostrando que f é lipschitziana.

Passo 4

Agora provamos que condição de Lipschitz implica continuidade uniforme. Suponha que
|f(x)-f(y)| \le K\,|x-y|
para todo x,y\in X. Dado \varepsilon>0, escolha
\delta = \frac{\varepsilon}{K}.
Então, sempre que |x-y|<\delta (independente de onde x e y estejam em X), temos
|f(x)-f(y)| \le K\,|x-y| < K\,\delta = \varepsilon.
Isso mostra exatamente a definição de continuidade uniforme: existe \delta que depende só de \varepsilon, não de pontos específicos.

Resposta

(a) Dizemos que f é lipschitziana em X se existir K>0 tal que para todos x,y\in X valha
|f(x)-f(y)| \le K\,|x-y|.
(b) Um exemplo é f(x)=a\,x+b em \mathbb{R}. Como
|f(x)-f(y)| = |a|\,|x-y|,
basta tomar K=|a|.
(c) Se |f(x)-f(y)|\le K|x-y|, dado \varepsilon>0 definimos \delta=\varepsilon/K. Então |x-y|<\delta implica |f(x)-f(y)|<\varepsilon, provando a continuidade uniforme.

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