QuestÃO 7: (2.0 pontos) Uma função f: I \rightarrow \mathbb{R}, contínua no intervalo I, com derivada f^{\prime}(x)=0 para todo x \in \operatorname{int} I, é constante.

Passo 1

O enunciado diz que f: I \to \mathbb{R} é contínua em I e derivável em \mathrm{int}\,I, e que
f'(x)=0\quad\text{para todo }x\in\mathrm{int}\,I.
Queremos mostrar que f é constante em I. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio (TVM) de Lagrange.

Passo 2

Sejam a,b\in I com a<b. Como I é um intervalo, o segmento [a,b] está contido em I. Além disso, por hipótese f é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), logo satisfaz as hipóteses do TVM.

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Médio, existe c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Mas como f'(x)=0 para todo x\in\mathrm{int}\,I, em particular f'\text{(c)}=0. Assim,
0=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \quad\Longrightarrow\quad f(b)-f(a)=0.

Passo 4

Da igualdade f(b)-f(a)=0 segue f(b)=f(a). Como a e b eram quaisquer em I, concluímos que f assume o mesmo valor em todo I.

Resposta

A função f é constante em I.

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