QuestÃO 7: (2.0 pontos) Uma função
, contínua no intervalo
, com derivada
para todo
, é constante.
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua em
e derivável em
, e que
Queremos mostrar que
é constante em
. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio (TVM) de Lagrange.
Passo 2
Sejam
com
. Como
é um intervalo, o segmento
está contido em
. Além disso, por hipótese
é contínua em
e derivável em
, logo satisfaz as hipóteses do TVM.
Passo 3
Pelo Teorema do Valor Médio, existe
tal que
Mas como
para todo
, em particular
. Assim,
Passo 4
Da igualdade
segue
. Como
e
eram quaisquer em
, concluímos que
assume o mesmo valor em todo
.
Resposta
A função
é constante em
.