De uma população X sim N(50,100) retira-se uma amostra de dez elementos e calculam-se os valores de sigmastar^2 e S^2. Encontre os valores pedidos abaixo, com a maior precisão possível.
P(S^2<163,16)=alpha, encontre alpha.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma população normal Xsim N(50,100) e tiramos uma amostra de tamanho n=10. A gente calcula a variância amostral S^2 (aquela com divisor n-1) e quer saber a probabilidade
Pl(S^2 < 163,16r)=alpha
O assunto aqui é distribuição de chi^2 aplicada à variância amostral. Vamos usar que
(n-1),S^2sigma^2simchi^2n-1
para achar alpha.

Passo 2

Teoria: quando a população é normal com variância sigma^2, a estatística
chi^2 = (n-1),S^2sigma^2
segue uma distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. Aqui sigma^2=100 e n-1=9. Então
Pl(S^2<163,16r);=;P!l(chi^2<9cdot163,16100r)

Passo 3

Calcule o valor crítico na escala da chi^2:
c = 9times163,16100 = 14,6844
Logo queremos
alpha = Pl(chi^29 < 14,6844r)

Passo 4

Consultando tabela de chi^2 para 9 graus de liberdade (ou usando software), o valor 14,6844 é justamente o percentil de 90%. Ou seja,
Pl(chi^29 < 14,6844r) = 0,90

Resposta

alpha = 0,90,.

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