As porcentagens de homens maiores de 60 anos, em um certo município, que são brancos, hipertensos e brancos hipertensos são, respectivamente,
e
. Para esse grupo e município:
Calcule a probabilidade de haver menos brancos do que os esperados em uma amostra aleatória de 8 indivíduos.
Calcule a probabilidade de haver menos brancos do que os esperados em uma amostra aleatória de 8 indivíduos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que, em um determinado município, entre homens com mais de 60 anos, 50% são brancos, 20% são hipertensos e 10% são tanto brancos quanto hipertensos. A questão pede para calcular a probabilidade de, em uma amostra aleatória de 8 indivíduos desse grupo, haver menos brancos do que o esperado. Ou seja, precisamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especialmente a distribuição binomial, para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que significa “menos brancos do que o esperado”. Como 50% dos homens são brancos, em uma amostra de 8 indivíduos, o número esperado de brancos é:
Então, queremos saber a probabilidade de haver menos que 4 brancos na amostra, ou seja, 0, 1, 2 ou 3 brancos.
Passo 3
Para calcular essa probabilidade, vamos utilizar a distribuição binomial. A distribuição binomial é apropriada aqui porque estamos lidando com um número fixo de tentativas (n = 8), cada uma com dois resultados possíveis (branco ou não branco), e a probabilidade de sucesso (ser branco) é constante em cada tentativa (p = 0,5).
A fórmula da distribuição binomial é:
onde:
- $ n $ é o número de tentativas,
- $ k $ é o número de sucessos desejados,
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
Passo 4
Queremos calcular $ P(X < 4) $, ou seja, a soma das probabilidades de ter 0, 1, 2 ou 3 brancos na amostra. Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da binomial:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 5
Calculando $ P(X=0) $:
Calculando $ P(X=1) $:
Calculando $ P(X=2) $:
Calculando $ P(X=3) $:
Passo 6
Agora, somamos todas essas probabilidades para obter $ P(X < 4) $:
Resposta
A probabilidade de haver menos brancos do que o esperado em uma amostra aleatória de 8 indivíduos é aproximadamente 36,33%.