As porcentagens de homens maiores de 60 anos, em um certo município, que são brancos, hipertensos e brancos hipertensos são, respectivamente, 50 %, 20 % e 10 %. Para esse grupo e município:
Calcule a probabilidade de haver menos brancos do que os esperados em uma amostra aleatória de 8 indivíduos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que, em um determinado município, entre homens com mais de 60 anos, 50% são brancos, 20% são hipertensos e 10% são tanto brancos quanto hipertensos. A questão pede para calcular a probabilidade de, em uma amostra aleatória de 8 indivíduos desse grupo, haver menos brancos do que o esperado. Ou seja, precisamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especialmente a distribuição binomial, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que significa “menos brancos do que o esperado”. Como 50% dos homens são brancos, em uma amostra de 8 indivíduos, o número esperado de brancos é:
Esperado = 8 times 0,5 = 4
Então, queremos saber a probabilidade de haver menos que 4 brancos na amostra, ou seja, 0, 1, 2 ou 3 brancos.

Passo 3

Para calcular essa probabilidade, vamos utilizar a distribuição binomial. A distribuição binomial é apropriada aqui porque estamos lidando com um número fixo de tentativas (n = 8), cada uma com dois resultados possíveis (branco ou não branco), e a probabilidade de sucesso (ser branco) é constante em cada tentativa (p = 0,5).
A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
onde:
  • $ n $ é o número de tentativas,
  • $ k $ é o número de sucessos desejados,
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 4

Queremos calcular $ P(X < 4) $, ou seja, a soma das probabilidades de ter 0, 1, 2 ou 3 brancos na amostra. Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da binomial:
P(X < 4)
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 5

Calculando $ P(X=0) $:
P(X=0)
Calculando $ P(X=1) $:
P(X=0) = binom80 (0,5)^0 (1-0,5)^8-0 = 1 times 1 times (0,5)^8 = 0,00390625
Calculando $ P(X=2) $:
P(X=1)
Calculando $ P(X=3) $:
P(X=1) = binom81 (0,5)^1 (1-0,5)^8-1 = 8 times 0,5 times (0,5)^7 = 0,03125

Passo 6

Agora, somamos todas essas probabilidades para obter $ P(X < 4) $:
P(X < 4)

Resposta

A probabilidade de haver menos brancos do que o esperado em uma amostra aleatória de 8 indivíduos é aproximadamente 36,33%.

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