Portal da Matemática OBMEP Em um certo dia, três mães deram a luz em uma maternidade. A primeira teve trigêmeos, a segunda, gêmeos e a terceira, um único filho. Considere, para aquele dia, o conjunto das três mães, o conjunto das crianças e as seguintes relações:
I) A que associa cada mãe a seu filho.
III) A que associa cada criança ao seu irmão.
II) A que associa cada criança a sua mãe.
Qual(is) relação(ões) é(são) Função(ões)?
I) A que associa cada mãe a seu filho.
III) A que associa cada criança ao seu irmão.
II) A que associa cada criança a sua mãe.
Passo 1
O enunciado descreve três mães e seis crianças (trigêmeos, gêmeos e um único filho). Precisamos verificar, para cada relação dada, se vale a definição de função:
Uma relação é função se, para todo elemento
, existe exatamente um elemento
tal que
.
Uma relação
Passo 2
Relação I: “associa cada mãe a seu filho.”
Aqui o domínio é o conjunto das três mães e o contradomínio é o das crianças.
Aqui o domínio é o conjunto das três mães e o contradomínio é o das crianças.
- A mãe dos trigêmeos fica associada a três crianças distintas.
- A mãe dos gêmeos fica associada a duas crianças.
- A mãe do filho único fica associada a uma.
Logo, existem mães com mais de uma imagem, o que viola a unicidade exigida para função.
Portanto, I não é função.
Passo 3
Relação II: “associa cada criança à sua mãe.”
Agora o domínio é o conjunto das seis crianças e o contradomínio é o das três mães.
Cada criança nasceu de uma e somente uma mãe, portanto cada elemento do domínio tem exatamente uma imagem.
Logo, II é função.
Agora o domínio é o conjunto das seis crianças e o contradomínio é o das três mães.
Cada criança nasceu de uma e somente uma mãe, portanto cada elemento do domínio tem exatamente uma imagem.
Logo, II é função.
Passo 4
Relação III: “associa cada criança ao seu irmão.”
O domínio continua sendo o das seis crianças e o contradomínio também.
O domínio continua sendo o das seis crianças e o contradomínio também.
- As crianças trigêmeas têm duas imagens cada (dois irmãos),
- As gêmeas têm uma imagem cada,
- O filho único não tem irmão (zero imagens).
Há elementos do domínio com zero ou mais de uma imagem, quebrando a condição de função.
Portanto, III não é função.
Resposta
Somente a relação II é função.