Portal da Matemática OBMEP Em um certo dia, três mães deram a luz em uma maternidade. A primeira teve trigêmeos, a segunda, gêmeos e a terceira, um único filho. Considere, para aquele dia, o conjunto das três mães, o conjunto das crianças e as seguintes relações:
I) A que associa cada mãe a seu filho.
III) A que associa cada criança ao seu irmão.
II) A que associa cada criança a sua mãe.
Qual(is) relação(ões) é(são) Função(ões)?

Passo 1

O enunciado descreve três mães e seis crianças (trigêmeos, gêmeos e um único filho). Precisamos verificar, para cada relação dada, se vale a definição de função:
Uma relação f\colon A\to B é função se, para todo elemento x\in A, existe exatamente um elemento y\in B tal que f(x)=y.

Passo 2

Relação I: “associa cada mãe a seu filho.”
Aqui o domínio é o conjunto das três mães e o contradomínio é o das crianças.
  • A mãe dos trigêmeos fica associada a três crianças distintas.
  • A mãe dos gêmeos fica associada a duas crianças.
  • A mãe do filho único fica associada a uma.
    Logo, existem mães com mais de uma imagem, o que viola a unicidade exigida para função.
    Portanto, I não é função.

Passo 3

Relação II: “associa cada criança à sua mãe.”
Agora o domínio é o conjunto das seis crianças e o contradomínio é o das três mães.
Cada criança nasceu de uma e somente uma mãe, portanto cada elemento do domínio tem exatamente uma imagem.
Logo, II é função.

Passo 4

Relação III: “associa cada criança ao seu irmão.”
O domínio continua sendo o das seis crianças e o contradomínio também.
  • As crianças trigêmeas têm duas imagens cada (dois irmãos),
  • As gêmeas têm uma imagem cada,
  • O filho único não tem irmão (zero imagens).
    Há elementos do domínio com zero ou mais de uma imagem, quebrando a condição de função.
    Portanto, III não é função.

Resposta

Somente a relação II é função.

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