Portal da Matemática OBMEP Verifique se a função s: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N} onde n \longmapsto s(n)=n+1 é injetiva.

Passo 1

O enunciado define a função
s\colon \mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N}, \quad s(n)=n+1
e pede para verificar se ela é injetiva. O conteúdo é o conceito de injeção em funções, que exige mostrar que valores de saída iguais vêm sempre de entradas iguais.

Passo 2

A definição de injetividade é:
uma função f é injetiva se, sempre que f(a)=f(b), podemos concluir que a=b.

Passo 3

Aplicando isso a s, suponha que existam n_1,n_2\in\mathbb{N} tais que
s(n_1)=s(n_2).
Então
n_1+1 = n_2+1.
Subtraindo 1 de ambos os lados, obtemos
n_1 = n_2.
Portanto, sempre que s(n_1)=s(n_2), temos n_1=n_2, o que prova a injetividade.

Resposta

A função s é injetiva.

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